- L'ensemble des entiers relatifs avec l'addition et la multiplication usuelles (ℤ,+,×) est un exemple d'anneau infini, commutatif, unitaire, intègre. Le groupe des unités se réduit à {-1,+1}, ce n'est donc pas un corps.
Voici une représentation de cet anneau avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
L'ensemble des nombres rationnels avec l'addition et la multiplication usuelles (ℚ,+,×) est un exemple d'anneau infini, commutatif, unitaire, et c'est un corps.
Voici une représentation de ce corps avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
On peut en dire autant de (ℝ,+,×)
Voici une représentation de ce corps avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
et encore de (ℂ,+,×).
Voici une représentation de ce corps avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
- l'ensemble des endomorphismes linéaires d'un espace vectoriel sur un corps K est un anneau avec pour multiplication la composition des applications. Il peut exister des diviseurs de 0, par exemple si Im(f)⊂Ker(g) f et g n'étant pas nuls tous deux on a g∘f=0. Cet anneau est unitaire (application identique) mais n'est pas intègre ni commutatif. Ce n'est pas un corps.
- Les quotients de congruences ℤ/nℤ, sont des anneaux finis unitaires.
Voici une représentation de l'anneau ℤ/6ℤ avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
En général ce ne sont pas des corps, mais on peut montrer que c'est le cas si n est un nombre premier.
Vérification expérimentale avec julia 1.6:
Dans le cas général les unités correspondent aux entiers m 0<m<n premiers avec n. - Soit ℤ[i], l'ensemble des entiers de Gauss, c'est à dire des complexes de la forme a+bi avec a et b dans ℤ. C'est clairement un anneau. Posons pour tout x=a+bi ∈ℤ[i], $N(x)=a^{2}+b^{2}=x\overline{x}$ on a alors N(xy)=N(x)N(y) et x=0⇔N(x)=0. Il s'en suit que ℤ[i] est un anneau intègre. Cependant ce n'est pas un corps, car x inversible entraîne N(x)=1. Les seuls éléments inversibles sont donc les entiers de Gauss sur le cercle unité c'est à dire 1,-1,i,-i.
- Si A est un anneau et E un ensemble quelconque, l'ensemble AE de toutes les fonctions de E dans A est un anneau avec les opérations:
(f+g):x→f(x)+g(x) et (f×g):x→f(x)×g(x). Si A est commutatif AE est commutatif. Si A est unitaire il en est de même de AE. La vérification est immédiate.
Cependant A peut être intégre sans que AE le soit. Prendre par exemple A=E=ℝ si f est une fonction nulle sur ℝ- et non nulle ailleurs
et si g est une fonction nulle sur ℝ+ et non nulle ailleurs, alors f×g est identiquement nulle, f et g sont donc des diviseurs de zéro.
Voici une représentation de cet anneau avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
- Si A et B sont deux anneaux on définit l'anneau 'produit' A×B ainsi : la somme de deux couples ainsi que le produit sont définis composante par composante :(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y') et (x,y)(x',y')=(xx',yy'). On vérifie immédiatement qu'avec ces opérations A×B devient à son tour un anneau, le neutre étant (0,0) et l'unité (1,1).
Voici un exemple d'anneau produit avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
- L'exemple précédent s'applique au cas où A=B, on définit donc l'anneau A2=A×A, et on peut généraliser à un produit de n exemplaires de A,
An=A×A×....×A. On peut aussi remarquer que An s'identifie aux fonctions de {1,2,...,n} dans A et voir qu'il s'agit d'un cas particulier de l'exemple 7.
Voici une représentation de cet anneau avec le langage julia 1.6 et le package Nemo :
On élève ici le corps ℤ/5ℤ à la puissance 3.
- Très voisin de l'exemple 3 précédent les matrices carrées d'ordre 2 à coefficients dans ℤ, ℚ, ℝ ou ℂ. Il s'agit d'un anneau unitaire, non commutatif, avec des diviseurs de 0. Le nul est $\begin{pmatrix}0 &0 \\0 &0\end{pmatrix}$ et l'unité est $\begin{pmatrix}1 &0 \\0 &1\end{pmatrix}$ Voici 2 diviseurs de 0 $\begin{pmatrix}0 &1 \\0 &0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0 &0 \\1 &0\end{pmatrix}$.