Les anneaux, et les corps (qui sont des anneaux particuliers) sont en importance la seconde structure la plus utilisée en algèbre. La notion d'anneau repose sur celle de groupe. L'algèbre linéaire se développe à partir des notions de groupe et d'anneau avec les modules et les espaces vectoriels. Alors que les groupes ont essentiellement deux critères discriminatoire (fini-non fini, commutatif-non commutatif), les anneaux se distinguent comme les groupes, par des propriétés annexes l'une d'elles étant l'intégrité, l'autre concernant un éventuel élément unité. Pour éviter des notations trop lourdes nous adopterons principalement les notations additive et multiplicative sachant que dans bien des cas le 'produit' pourra être une opération désignée généralement avec un signe autre que '×' ou '.'.
Pour un premier contact, une vision d'ensemble et quelques généralités nous orientons le lecteur vers la page wikipedia consacrée aux anneaux mathématiques.
Voyons tout de suite les
Et voici quelques exemples d'anneaux et de corps :
La situation est particulière dans le cas des anneaux finis où les lois sont représentables par des tables.
On rappelle ici quelques règles usuelles en les justifiant. On insiste sur la validité de certaines formules seulement quand les éléments commutent.