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Ce pgcd n'est défini a priori qu'au signe près, nous pouvons donc choisir la valeur positive par convention.
Cela signifie que les coefficients de P sont premiers entre eux.
Il résulte de ces définitions que si P est un polynôme quelconque de ℤ[X], $P=cont(P)\tilde P$ où $\tilde P$ est primitif.
Il existe un lien entre le contenu de P, celui de Q et celui de PQ :
Nous montrons ce résultat d'abord dans le cas où P et Q sont primitifs.
Il faut donc montrer que dans ce cas PQ est également primitif, c'est à dire qu'aucun diviseur premier p ne peut diviser tous les coefficients du produit PQ.
Nous écrivons $P=\sum_{i=0}^{m}a_iX^i$ et $Q=\sum_{j=0}^{n}a_jX^j$
Soit donc p un entier premier quelconque.
p ne divise pas tous les ai. il existe donc des i tels que $p\nmid a_i$. Soit $k$ le plus petit d'entre eux.
p ne divise pas tous les bj. il existe donc des j tels que $p\nmid b_j$. Soit $l$ le plus petit d'entre eux.
On a donc $p\mid a_0,p\mid a_1,...,p\mid a_{k-1}, p\nmid a_k$ et $p\mid b_0,p\mid b_1,...,p\mid a_{l-1}, p\nmid b_l$
En écrivant $c_{k+l}=\sum_{i=0}^{k-1}a_{i}b_{k+l-i}+a_kb_l+\sum_{j=0}^{l-1}a_{k+l-1}b_j$ on voit que les deux sommes sont divisibles par p mais que le terme $a_kb_l$ ne l'est pas. Donc $p\nmid c_{k+l}$ et PQ est primitif.
Pour finir on écrit $P=cont(P)\tilde P$ où $\tilde P$ est primitif et $Q=cont(Q)\tilde Q$ où $\tilde Q$ est primitif, et on a la relation cont(PQ)=cont(P)cont(Q).Lemme de Gauss
On suppose donc P=QR avec Q,R dans ℚ[X], non constants.
Soit m le ppcm des dénominateurs des coefficients de Q écrits sous forme de fractions irréductibles, et m' le ppcm des dénominateurs des coefficients de R écrits sous forme de fractions irréductibles.
Alors mQ∈ℤ[X] et m'R∈ℤ[X].Comme nous l'avons vu précédemment $\tilde{Q}=\frac{mQ}{cont(mQ)}$ et $\tilde{R}=\frac{m'R}{cont(m'R)}$ sont primitifs.
De la relation $P=QR$ nous tirons $mm'P=mQm'R$.
Puis en appliquant le résultat précédent $mm'cont(P)=cont(mQ)cont(m'R)$.
De là nous tirons $P=cont(P)\tilde{Q}\tilde{R}$ et P est bien le produit de deux polynômes de ℤ[X].
Critère d'irréductibilité d'Eisenstein
$P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ étant un polynôme de ℤ[X], le résultat s'énonce ainsi :- $p \nmid a_n$
- $p \mid a_i$ pour tout $i$, $0\leqslant i\leqslant n-1$
- $p^2 \nmid a_0$
On raisonne par l'absurde en supposant P=QR avec Q,R ∈ ℚ[X].
En vertu du lemme de Gauss on peut supposer Q, R ∈ ℤ[X].
On suppose désormais que tel est le cas et on écrit $Q=\sum_{i=0}^{q}b_iX^i$ et $R=\sum_{i=0}^{r}c_iX^i$.
Fp désigne le corps premier ℤ/pℤ et pour tout $a_i$, $\overline{a_i}$ la classe de $a_i$ modulo p dans Fp.
Les hypothèses se traduisent par $\overline{a_n}X^n=\sum_{i=0}^{q}\overline{b_i}X^i\sum_{j=0}^{r}\overline{c_j}X^j$.
Dans le membre de droite en annulant le terme constant il vient $\overline{b_0}\overline{c_0}=0$.
L'hypothèse iii nous dit que soit $\overline{b_0}=0$ soit $\overline{c_0}=0$.
Supposons par exemple que $\overline{c_0}\neq 0$, alors $\overline{b_0}=0$.
En annulant le terme de degré 1 dans le membre de droite il vient $\overline{c_1}\overline{b_0}+\overline{c_0}\overline{b_1}=0$ donc $\overline{c_0}\overline{b_1}=0$ donc $\overline{b_1}=0$.
De la même façon en annulant le terme de degré 2 il vient $\overline{b_2}=0$, et ainsi de suite pour tous les $\overline{b_i}$ pour $0\leqslant i\leq q-1$.
L'égalité devient alors $\overline{a_n}X^n=\overline{b_q}X^q\sum_{j=0}^{r}\overline{c_j}X^j$.
Mais cette fois en développant le membre de droite, puisque $\overline{a_n}=\overline{b_q}\overline{c_r}$, on a $\overline{b_q}\neq 0$ et il vient nécessairement $\overline{c_0}=0$ contrairement à l'hypothèse.
Réduction modulo p
$P=\sum_{i=0}^{n}a_iX^i$ désigne un polynôme de ℤ[X]- $p\nmid a_n$
- $\overline{P}=\sum_{i=0}^{n}\overline{a_i}X^i$ est irréductible dans $F_p[X]$.
Écrivons encore P=QR avec Q, R non constants dans ℤ[X].
On a alors $degré(\overline{Q})=degré(Q)$ et $degré(\overline{R})=degré(R)$
Mais alors l'irréductibilité de P dans $F_p[X]$ entraîne l'irréductibilité dans ℤ[X] donc dans ℚ[X].