Voyons avant tout quelques lemmes techniques utiles pour construire des exemples et des contre-exemples de certaines situations.
Commençons par quelques définitions.
On s'intéresse maintenant aux sous-extensions générées.Nous étudions maintenant les extensions monogènes engendrées par un seul élément.
Si L/K est une extension de corps, alors L est muni d'une structure de K-espace vectoriel, en tant que tel il a une dimension (non nécessairement finie). Nous proposons ici un ensemble de lemmes techniques indispensables pour la démonstration du résultat final, à savoir le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ces résultats mettent en relation des degrés d'extensions avec des ordres de groupes d'automorphismes.Degrés des extensions et ordre des groupes
Nous définissons ici, pour tout corps K et tout polynôme P de K[X] irréductible sur K une extension de K dans laquelle P admet au moins une racine, donc un facteur du premier degré.
Pour tout polynôme P irréductible sur K nous construisons maintenant une extension de K dans laquelle P a au moins une racine.Nous définissons ici, pour tout corps K et tout polynôme P de K[X] irréductible sur K une extension de K dans laquelle P admet admet toutes ses racines, donc se factorise en produit de facteurs du premier degré.
Nous examinons maintenant l'existence et l'unicité pour tout corps d'une extension algébrique 'maximale'.
Nous nous penchons maintenant sur les éléments qui ne sont pas algébriques.