Théorie de Galois

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Extensions de corps

Extensions galoisiennes

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Extensions de corps

Voyons avant tout quelques lemmes techniques utiles pour construire des exemples et des contre-exemples de certaines situations.

Lemmes

Commençons par quelques définitions.

Définitions

On s'intéresse maintenant aux sous-extensions générées.

Génération

Nous étudions maintenant les extensions monogènes engendrées par un seul élément.

Extensions simples

Si L/K est une extension de corps, alors L est muni d'une structure de K-espace vectoriel, en tant que tel il a une dimension (non nécessairement finie).

Degré d'une extension

Nous proposons ici un ensemble de lemmes techniques indispensables pour la démonstration du résultat final, à savoir le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ces résultats mettent en relation des degrés d'extensions avec des ordres de groupes d'automorphismes.

Degrés des extensions et ordre des groupes

Nous définissons ici, pour tout corps K et tout polynôme P de K[X] irréductible sur K une extension de K dans laquelle P admet au moins une racine, donc un facteur du premier degré.

Éléments algébriques

Pour tout polynôme P irréductible sur K nous construisons maintenant une extension de K dans laquelle P a au moins une racine.

Corps de rupture

Nous définissons ici, pour tout corps K et tout polynôme P de K[X] irréductible sur K une extension de K dans laquelle P admet admet toutes ses racines, donc se factorise en produit de facteurs du premier degré.

Corps de décomposition

Nous examinons maintenant l'existence et l'unicité pour tout corps d'une extension algébrique 'maximale'.

Clôture algébrique

Nous nous penchons maintenant sur les éléments qui ne sont pas algébriques.

Éléments transcendants

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Extensions galoisiennes

Nous commençons par exposer les idées directrices de la théorie.

Correspondance de Galois

Nous étudions maintenant un type particulier d'extension.

Extensions normales

Le concept suivant, ignoré à l'origine, n'a d'intérêt qu'en caractéristique non nulle.

Extensions séparables

Nous définissons maintenant le concept d'extension 'galoisienne', champ d'application de la théorie.

Extensions de Galois

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