Dans ce cas la loi de G est représentable en totalité par une table.

Voici par exemple la table d'une loi représentant un groupe (non commutatif) d'ordre 8.

On voit tout de suite certaines choses :

e est élément neutre , a et d sont inverses l'un de l'autre, il en est de même de b et f, et aussi de g et h, c est son propre inverse.

Ce qui est beaucoup moins évident c'est l'associativité de la loi qui ne se lit pas immédiatement sur une table. A priori il y a 8³=512 formules à vérifier, même si on peut éliminer toutes celles qui contiennent e.

Ce programme julia teste l'associativité et recherche l'élément neutre.

Ce programme vérifie si on a bien une loi de groupe abélien d'élément neutre 0.

Autres exemples de lois de groupes sur des ensembles finis

Lorsqu'on veut étudier un groupe fini à n éléments on peut toujours supposer (grâce à un numérotage) que ce groupe est constitué des entiers {1,2,...n}. On peut également, quitte à effectuer une superposition, supposer que 1 est le neutre. Nous avons vu dans les exemples ci-dessus que la loi interne pouvait être représentée par une fonction f(i,j) à valeurs dans {1,2,...,n}. La table d'une loi interne, notée multiplicativement, sur {1,...,n} admettant 1 pour élément neutre devient alors une matrice M et le composé de l'entier i avec l'entier j devient le coefficient M[i,j] sur la i-ème ligne et la j-ème colonne i×j=M[i,j]. La condition que 1 est élément neutre se traduit par le fait que dans la première ligne et la première colonne on retrouve exactement les éléments 1,2,...,n dans cet ordre.

Par ailleurs, pour une telle loi de groupe, pour tout entier i les j→i*j et i→j*i sont des permutations de {1,2,...,n}, les permutations réciproques étant j→i^-1×j et j→j×i^-1.Cela se traduit par le fait que dans chaque ligne et dans chaque colonne de la table apparaît une fois et une seule chacun des entiers {1,...,n}. Les lignes et les colonnes sont donc des permutations de {1,...,n}, la première ligne et la première colonne étant la permutation identité si 1 est le neutre.

Voici un programme de calcul des carrés latins avec le langage julia 1.6 et le package Combinatorics :

L'éxécution donne :

Les quatre carrés latins réduits d'ordre 4 sont':
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1

1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 2 1
4 3 1 2

1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3

1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1

Ordre 1: nombre 1    
Ordre 2: nombre 1    
Ordre 3: nombre 1    
Ordre 4: nombre 4    
Ordre 5: nombre 56   
Ordre 6: nombre 9408 

Il ne faudrait pas croire que tout carré latin correspond à une loi de groupe il faut encore vérifier l'associativité et le fait que le nombre 1 occupe des positions symétriques par rapport à la diagonale, propriété correspondant à l'existence d'un unique inverse à gauche et à droite pour chaque élément.

Pour le premier exemple de la liste il apparaît que chaque élément est son propre inverse, il suffit donc de vérifier l'associativité.

Il y a a priori 43=256 formules i×(j×k)=(i×j)×k à vérifier, cependant on remarque que si un seul des trois nombres i,j,k est égal à l'unité 1, alors la formule est trivialement vérifiée. Il suffit donc de vérifier les formules pour i,j,k ∈ {2,3,4}} soit en tout 64 formules.

Le petit programme qui suit fait le travail.

Le même programme appliqué aux trois autres 'candidats' conclurait également à des lois de groupe. Il y aurait donc a priori 4 groupes sur l'ensemble {1,2,3,4} admettant 1 pour neutre. Nous verrons un peu plus loin que les 3 derniers sont d'une certaine façon les mêmes en un sens à préciser (à un isomorphisme près). De sorte qu'il n'y a en fait que deux structures de groupe vraiment distinctes sur un ensemble à 4 éléments.

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