Un 'groupe' consiste en la donnée d'un ensemble G, et d'une loi de composition interne (que nous noterons multiplicativement avec le signe '.').
  • Cette loi est en outre supposée associative.
  • Elle doit posséder un élément neutre.
  • Tout élément x de G doit posséder un symétrique pour cette loi.
La loi n'est pas forcément supposée commutative. Si elle l'est on dit que le groupe est 'commutatif' ou 'abélien'.

Il résulte immédiatement de la définition que:

Le symétrique d'un élément est forcément unique et que le symétrique du neutre est lui-même.

Il résulte également de la définition que:

Dans un groupe G pour tout élément a les applications x→ax et x→xa sont bijectives.

En effet ax=ay donne x=y en multipliant à gauche par a-1, d'où l'injectivité. En outre l'équation en x y=ax possède la solution unique x=a-1y