Les exemples suivants caractérisent des groupes :

  1. Les ensembles ℤ, ℚ, ℝ, ℂ avec les additions correspondantes sont de groupes additifs abéliens.
  2. Les ensembles $\mathbb{Z}^{*}$, $\mathbb{Q}^{*}$, $\mathbb{R}^{*}$, $\mathbb{C}^{*}$, avec les multiplications correspondantes sont des groupes multiplicatifs commutatifs. Notez bien que dans les exemples ci-dessus il est indispensable d'exclure l'élément nul qui n'a pas d'inverse.
  3. Les groupes de congruences ℤ/nℤ avec l'addition sont des groupes finis commutatifs.
  4. Les nombres complexes de module 1 (cercle unité) forment un groupe abélien multiplicatif.
  5. Les racines n-èmes de l'unité dans ℂ forment un groupe fini multiplicatif (abélien).

  6. Si E est un ensemble quelconque l'ensemble σ(E) de toutes les permutations de E forment un groupe, en général non commutatif, pour la loi de composition des applications.

    Voici une représentation de ce groupe quand E={1;2;3;...;n} avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :

  7. En outre si E est un ensemble fini à n éléments ce groupe, de cardinal n! se note Sn et s'appelle le groupe symétrique d'ordre n.
  8. Si E est un espace vectoriel sur K l'ensemble L(E,K) des isomorphismes linéaires de E a une structure de groupe (non commutatif) pour la composition.
  9. Si n est un entier positif ≥1 l'ensemble des matrices carrée d'ordre n à coefficients dans un corps K est muni d'une structure de groupe abélien avec l'addition usuelle.
  10. Si n est un entier positif ≥1 l'ensemble des matrices carrée d'ordre n à coefficients dans un corps K inversibles est muni d'une structure de groupe abélien avec la multiplication des matrices
  11. Si E est un espace vectoriel réel euclidien, O(n,ℝ) le groupe des isométries de E, est un sous-groupe pour la composition appelé groupe orthogonal.

Les exemples suivants constituent des contre-exemples :

  1. L'ensemble ℕ des entiers naturels n'est un groupe ni pour l'addition ni pour la multiplication. En effet les deux lois sont associatives avec élément neutre mais la plupart des éléments n'ont ni opposé ni inverse.
  2. L'ensemble (ℚ,×) n'est pas un groupe car 0 n'a pas d'inverse. On peut en dire autant de ℝ et ℂ.

Groupe produit

L'exemple suivant montre comment fabriquer de nouveaux groupes à partir de groupes existants.

Soient G et G' deux groupes notés multiplicativement, on munit l'ensemble produit G×G' de la loi multiplicative (x,x').(y,y')=(xy,yy'). Alors G×G' devient un groupe à son tour, appelé groupe 'produit direct' de G et G'.
L'associativité de la loi produit résulte de l'associativité de chacune des deux lois, le neutre de G×G' est (1,1), l'inverse de (x,y) est (x-1,y-1).

Groupes diédraux

Le groupe diédral d'ordre n notation D2n est un exemple emprunté à la géométrie du plan euclidien. On considère les polygones réguliers P2n ayant un nombre pair 2n de sommets (et de côtés) ainsi pour n=2 on obtient le carré pour n=3, l'hexagone, etc... On peut voir P2n comme les racines 2n-ièmes de l'unité dans ℂ Pour n=1 P2 se réduit à la paire {-1,+1} et donc au segment qui les joint. D2n, le groupe diédral d'ordre n, désigne le groupe des automorphismes orthogonaux (isométries) du plan euclidien laissant globalement invariant P2n.

On peut déjà se concentrer sur les isométries positives (rotations) conservant la figure. On s'aperçoit alors que ce sont les puissances de r, r étant la rotation d'angle π/n. Plus précisément r0=Id, r1=r, r2, ....,r2n-1, sachant que r2n=Id. Maintenant il est clair qu'il existe des isométries négatives dans D2n. Par exemple toute droite joignant un sommet au sommet opposé est axe des symétrie, en particulier l'axe des abscisses. Désignons par s la symétrie d'axe x'Ox. Alors l'application ri→s$\circ$ri est une application de l'ensemble des isométries positives sur l'ensemble des isométries négatives laissant globalement invariant le polygone. On voit donc que le groupe D2n peut s'écrire : D2n={1,r,r2, ....,r2n-1,s,sr,sr2,...sr2n-1}