Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. Si deux éléments appartiennent à une même orbite, alors leurs stabilisateurs Gx et Gy sont conjugués dans G.

Soit x∈E et y∈Ωx. Il existe donc g∈G tel que y=g.x. Montrons que Gy=gGxg-1.

Soit h∈Gy on a alors y=h.y, donc g.x=h.(g.x). D'où :

x=1.x=g-1g.x=g-1.(hg.x)=g-1hg.x donc g-1hg∈Gx où encore h∈gGxg-1.

Réciproquement soit k∈gGxg-1 on a g-1kg∈Gx donc g-1kg.x=x d'où k.(g.x)=g.x d'où k.y=y, c'est à dire k∈Gy.
Soit G un groupe opérant sur un ensemble E.
  1. Pour tout x∈E le cardinal de Ωx est l'indice du stabilisateur de x, |Ωx|=[G:Gx].
  2. En particulier si G est fini |Ωx| divise |G|

x étant un élément de E soit Qx l'ensemble des classes de G modulo Gx. Il s'agit de montrer que Ωx et Qx sont équipotents.

Nous construisons une bijection λ de l'un sur l'autre.

Tout élément de Ωx s'écrit g.x. A cet élément nous associons gGx. Il faut déjà montrer que gGx ne dépend pas de g. Supposons donc que g.x=h.x, alors h-1.(g.x)=h-1.(h.x)=(hh-1).x=1.x=x donc h-1G∈Gx d'où gGx=hGx.

L'application λ est surjective par construction. Tout élément de Qx est de la forme gGx. Donc λ(g.x)=gGx.

L'application λ est injective. En effet de λ(g.x)=λ(h.x) nous tirons gGx=hGx donc h-1g∈Gx c'est à dire (h-1g).x=x d'où h.x=h(h-1g)x=(hh-1)(g.x)=1.(g.x)=g.x.

Ce résultat admet la conséquence suivante :

Soit G un groupe opérant sur un ensemble fini E. Soit {xi}i∈I un ensemble de représentant des orbites distinctes. $$\left | E \right |=\sum_{i\in I}^{ }\left [ G:G_{x_{i}} \right ]$$
C'est une conséquence de ce résultat.

Voici deux exemples d'application empruntés à François Dumas :

Si G est un groupe fini d'ordre 33 opérant sur un ensemble de cardinal 19. Alors l'action admet nécessairement des points fixes.
En effet toute orbite est d'ordre 1,3, 11 et 33. Comme |E|=19<33, les seules possibilités sont 1,3 et 11. On rappelle qu'un point fixe qorrespond à une orbite ponctuelle. S'il n'y avait aucun point fixe toute orbite aurait 3 ou 11 éléments. Si n est le nombre d'orbites à 3 éléments et m celui des orbites à 11 éléments on aurait donc 3n+11m=19, équation diophantine qui ne possède aucune solution.

Soit G un groupe fini d'ordre 15 opérant sans points fixes sur un ensemble E fini à 17 éléments. Donner le nombre d'orbites et le cardinal de chacunes d'elles.

Toute orbite est de cardinal 1 3 5 ou 15. Puisqu'il n'y a pas de point fixe les seules possibilités sont 3,5 et 15. Il ne peut exister aucune orbite de 15 élement car les deux éléments restant ne pourraient former une orbite puisque 2 ne divise pas 15 ni deux orbites parce qu'il n'y a pas de point fixe. Les seules possibilités restent donc 3 et 5. Si m est le nombre d'orbites à 3 éléments et n celui des orbites à 5 éléments m et n doivent être solutions de 3m+5n=17. La seule solution est m=4 et n=1.