Soit(A,+,×) un anneau. Un 'sous-anneau' de A consiste en la donnée d'une partie B de A telle que:
  • (B,+) soit un sous-groupe additif de (A,+)
  • B soit stable pour la multiplication de A

Il résulte de la définition que si B est un sous-anneau de A, alors , avec les lois induites devient à son tour un anneau. En outre si A est intègre, B l'est aussi.
Par ailleurs :

Si A est unitaire et si B contient l'unité de A on dit que B est un 'sous-anneau unitaire' de A.
Un sous-anneau H d'un corps (K,+,×) qui avec les lois induites est un corps, c'est à dire que pour tout élément x non nul de H l'élément x-1 est également dans H, est appelé un 'sous-corps' de K.

Un sous-anneau d'un corps n'en est pas forcément un sous-corps, comme nous le verrons dans les exemples.

La notion de sous-anneau correspond à celle de sous-objet dans la catégorie des anneaux, mais s'avère souvent insuffisante, surtout quand on veut créer des structures quotients. On a donc besoin d'une notion un peu plus riche. Les idéaux seront aux anneaux ce que sont les sous-groupes distingués aux sous-groupes.Nous supposons désormais que A est un anneau commutatif et unitaire.

Un 'idéal' I de (A,+,×) est ainsi défini :
  • (I,+) est un sous-groupe additif de (A,+)
  • ∀a∈I et ∀b∈A ab∈I

On voit ainsi que la seconde propriété est bien plus forte que la stabilité pour la multiplication. Ainsi un idéal I de A est en particulier un sous-anneau qui est de plus stable pour la multiplication par tout élément de A et non seulement de I.

Il résulte immédiatement de la définition que :

Si un idéal I de A, anneau unitaire, contient 1 alors I=A.

Et on peut même dire plus :

Si un idéal I de A, anneau unitaire, contient un seul élément inversible, alors I=A.