Les anneaux sont supposés commutatifs et unitaires.
Soient (A,+,×) et (A',+,×) deux anneaux. Une application h:A→A' est appelé un "homomorphisme d'anneaux" ssi, elle possède les propriétés suivantes:
- h est un homomorphisme de groupes additifs de (A,+) dans (A',+)
- h(xx')=h(x)h(x') ∀(x,x')∈A×A'.
- h(1)=1
Il résulte immédiatement de cette définition que :
Si h:A→A' est un morphisme d'anneau, pour tout élément inversible x de A h(x) est inversible dans A' et h(x)-1=h(x-1).
Il suffit pour le voir d'écrire f(1)=1=f(xx-1)=f(x)f(x-1)
Voyons tout de suite quelques propriétés.
Si f:A→A' et g:A'→A" est des morphismes d'anneaux, alors g$\circ$f:A→A" est également un morphisme d'anneaux.
La vérification de cette affirmation est immédiate, tout comme celles des deux suivantes.
Si h:A→A' est un morphisme d'anneaux et si B est un sous-anneau de A, alors l'image directe de B par h soit h(B) est un sous-anneau de A'.
Si h:A→A' est un morphisme d'anneaux et si B' est un sous-anneau de A', alors l'image réciproque de B' par h soit
h-1(B') est un sous-anneau de A.
Un morphisme d'anneau d'un anneau A dans lui-même est appelé un 'endomorphisme' de A.
Si h:A→A' est un morphisme bijectif on dit que h est un 'isomorphisme' d'anneaux. et si A=A' on parle "d'automorphisme" de A.
Un automorphisme est donc un endomorphisme bijectif.
Il est clair que :
La bijection réciproque d'un isomorphisme est également un isomorphisme. La bijection réciproque d'un automorphisme est également un automorphisme.
Les automorphismes d'un même anneau forment un groupe pour la composition.
Cela se vérifie instantanément.
Encore une définition :
Un morphisme d'anneaux injectif s'appelle aussi un 'monomorphisme'.