Nous aurons besoin ici d'un lemme :

Dans tout ensemble ordonné (E,$\prec$)il y a équivalence entre :
  1. Toute suite croissante de E est stationnaire
  2. Toute partie non vide de E admet un élément maximal

Supposons ii. vérifiée et soit x0 ≺ x1 ≺... une suite croissante. Soit F = {xn| n ∈ ℕ}, donc une partie non vide de E : par hypothèse, elle admet un élément maximal xm . Alors, pour n ≥ m, l’inégalité large xm ≺ xn ne peut être stricte (puisque xm est maximal), donc xm = xn et la suite stationne au rang m.

Pour établir la réciproque, nous démontrerons sa contraposée. Nous supposons donc que la partie non vide F de E n’admet pas d’élément maximal, et nous construisons par récurrence une suite strictement croissante (xn)n∈ℕ. L’élément x0 est arbitraire dans F (qui est supposée non vide). Le terme xn ∈ F étant construit, on prend pour xn+1 un majorant strict de xn dans F (c’est possible puisque xn n’est pas maximal par hypothèse sur F). Il est clair que la suite construite est strictement croissante, donc non stationnaire.
Dans un anneau principal.
  1. Toute suite croissante d'idéaux est stationnaire.
  2. Toute famille non vide d'idéaux admet un élément maximal (i.e. qui n'est strictement inclus dans aucun autre élément de la famille).

Nous allons démontrer la première propriété, la seconde en découlera par le lemme qui précède.

Soit donc I0⊆I1⊆...⊆In⊆ ... une suite croissante d'idéaux de A.

La famille en question est donc en particulier totalement ordonnée et nous pouvons appliquer ce résultat. La réunion I de tous les In est donc un idéal de A.

Donc I est principal et il existe a∈A tel que I=Aa. Puisque a∈I il existe p tel que a∈Ip

Donc I⊆Ip et pour tout n≥p In=Ip=I.
Réciproquement on peut se poser la question de savoir si cette propriété est caractéristique des anneaux principaux. Il n'en est rien cependant ..
Soit A un anneau. Il est dit 'noetherien' si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire i.e. soient (In)n≥1 des idéaux vérifiant In⊂In+1 pour tout n ≥ 1, alors il existe n0≥1 tel que In = In0 pour tout n≥n0.
Le théorème suivant établit que cette définition est rigoureusement équivalente à celle donnée ici.
Soit A un anneau. Il est noethérien si et seulement si tout idéal est finiment engendré.

Si A est noetherien, soit I un idéal, alors : Si I = (0) c'est fini, sinon il existe a0≠0∈I, on a alors (0)⊆(a0)⊆I. Si I = (a0) c'est fini, sinon il existe a1∉(a0), a1∈I, on a alors (0)⊆(a0)⊆(a0,a1)⊆I. Si I = (a0,a1) c'est fini, sinon il existe a2... Ce processus doit s'arrêter après un nombre fini d'étapes car sinon on aurait une suite strictement croissante d'idéaux non stationnaire, d'où une contradiction.

Réciproquement Soit (In) une suite croissante d'idéaux, on forme l'idéal $I=\bigcup_{n\in \mathbb{N}}^{ }I_{n}$ C'est bien un idéal en vertu de cette propriété. Il est par hypothèse finiment engendré disons par a1,...,ar. Comme on a un nombre fini de termes, on sait qu'il existe IN qui les contient tous. Par conséquent I=(a1,...,ar)⊆IN⊆In⊆I, pour n≥N et donc In= IN=I pour n≥N.

Prenant en compte le théorème précédent nous avons maintenant les équivalences suivantes :
  • A est noethérien.
  • Toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire.
  • Tout ensemble non vide d'idéaux admet un élément maximal pour l'inclusion.

Il résulte de cela que tous les anneaux principaux sont évidemment noethériens.