Historique

Le problème — appelé aussi problème de Délos — a son origine dans une légende rapportée par Ératosthène dans Le Platonicien et par Théon de Smyrne2 dans son Arithmétique. Les Déliens, victimes d'une épidémie de peste, demandèrent à l'oracle de Delphes comment faire cesser cette épidémie. La réponse de l'oracle fut qu'il fallait doubler l'autel consacré à Apollon, autel dont la forme était un cube parfait. Les architectes allèrent trouver Platon pour savoir comment faire1. Ce dernier leur répondit que le dieu n'avait certainement pas besoin d'un autel double, mais qu'il leur faisait reproche, par l'intermédiaire de l'oracle, de négliger la géométrie.

La question intéressa nombre de mathématiciens, par exemple Hippias d'Élis, Archytas de Tarente, Ménechme, Eudoxe de Cnide, Hélicon de Cyzique et Eutocios d'Ascalon. Plusieurs solutions furent proposées par intersection de coniques ou par intersection de figures spatiales, par exemple Archytas proposa l'intersection entre un cône et un tore. D'Alembert écrivit en 1760 qu'aucune solution plane ne fut trouvée avec la seule utilisation de la règle et du compas.

Problème posé en termes algébriques

Il suffit bient sûr de résoudre le problème pour le cube unité, donc de construire le côté d'un cube de volume 2.

En clair de montrer que l'équation :

x³=2

ne possède pas de solution constructible.

Comme dans le cas de la trisection de l'angle, c'est un théorème de Pierre-Laurent Wantzel en 1837 qui résout (négativement) le problème.