La nature du problème

Le cercle de rayon unité a pour circonférence 2π.

On sait construire l'hexagone régulier inscrit dont le périmètre est exactement 6 et qui donne 3 pour approximation (grossière) de π

Mais on sait doubler le nombre des côtés, donc construire des polygônes réguliers inscrits à 12,24,48 côtés, approchant ainsi de plus en plus près la grandeur 2π

Compte tenu de ce que nous savons des grandeurs constructibles, il revient au même de construire 2π ou π, ou π². Le problème dit 'de la quadrature du cercle' revient à construire à la règle et au compas un carré ayant même aire qu'un cercle donné, il est équivalent à celui qui consiste à construire la grandeur π à la règle et au compas..

Histoire

Dans l'antiquité c'est certainement Archimède qui apporte la contribution la plus importante.

Dans un autre traité intitulé 'Des spirales', Archimède décrit la construction de ce que nous appelons aujourd'hui une spirale d'Archimède, et qui comme la quadratrice d’Hippias est engendrée par la composition d'un mouvement rectiligne uniforme et d'un mouvement circulaire uniforme. Il montre que la construction d'une tangente à cette spirale permet de rectifier exactement le périmètre d'un cercle. Plusieurs commentateurs voient là une quadrature complète du cercle, mais Archimède ne la revendique pas lui-même comme telle : pas plus que la quadratrice, ni la spirale, ni sa tangente ne sont constructibles à la règle et au compas.

Au moyen âge le problème fait l'objet d'une recherche active. Des gens comme Francon de Liège (1083), Nicolas de Cues (1401-1464), Regiomontanus (1436-1476) s'illustrent dans ce travail.

Le problème n'est résolu, par la négative encore, qu'à la fin du 19° siècle par Ferdinand von Lindemann en 1882 ; il n'a guère d'équivalent que le 'grand théorème de Fermat'.

Le problème aura donc resisté pendant près de 3 millénaires à la perspicacité des savants et chercheurs. Son nom même est ainsi devenu synonyme de problème insoluble.

Peu de problèmes ont autant débordé le champ des mathématiques que la quadrature du cercle. C'est l'une des raisons pour lesquelles il a fasciné tant d'amateurs, dont certains ont même cru qu'ils l'avaient résolu.