Forme canonique

Nous nous attaquons maintenant fort logiquement au degré supérieur, c'est à dire le degré 4.
Les techniques que nous avons utilisées jusqu'à présent vont, cette fois encore, fonctionner.
L'équation générale (complexe) du quatrième degré a la forme suivante:
az4+bz3+cz2+dz+e=0 où a,b,c,d,e ∈ ℂ et a ≠ 0.
Remarquons qu'on peut tout de suite supposer que a=1 (en divisant les deux membres par a ≠ 0).
Remarquons aussi qu'en remplaçant l'inconnue z par z-b/4 le terme de degré 3 disparaît.
Bref, on peut supposer sans perte de généralité, que l'équation du quatrième degré a la forme suivante:
z4+pz2+qz+r=0.

L'algorithme

Il n'y a rien là de bien nouveau. Ces techniques ont été utilisées avec succès pour les degrés 2 et 3.
L'idée nouvelle, due à Ferrari, intervient ici:
L'équation ci-dessus est équivalente à:
(z2+u/2)2 =(u-p)z2-qz+u²/4-r pour toute valeur de u .
L'idée est maintenant de trouver une valeur de u telle que le second membre soit un carré parfait de la forme (u-p)(z-k)².
Il suffit pour cela d'annuler le discriminant Δ = (-q)²-4(u-p)(u²/4-r)
Donc de résoudre l'équation en u:
u3-pu2-4ru+(4pr-q²)=0
Ce que l'on peut faire par la méthode de Cardan.
La valeur de u étant trouvée, notre équation s'écrit:
(z2+u/2)2 =(u-p)(z-k)2
Soit t l'une quelconque des deux racines carrées complexes de (u-p)
Notre équation s'écrit:
(z2+u/2)2 =[t(z-k)]2
Elle se décompose donc en deux équations de degré 2:
z²+u/2=t(z-k) soit z²-tz+(u/2+tk)=0
z²+u/2=-t(z-k) soit z²+tz+(u/2-tk)=0
que nous savons résoudre.