On s'intéresse aux équations polynomiales de degré 2 à coefficients rationnels.

C'est à dire aux équations du type :

$$ax^{2}+bx+c=0$$ $\text{ où } a,b,c \in \mathbb{Q} \text { et } a\neq 0$

La plupart de ces équations n'ont pas de solution dans $\mathbb{Q}$, ni même dans $\mathbb{R}$.

On sait toutefois les résoudre complètement dans $\mathbb{C}$ et on dispose de formules explicites.

Quitte à diviser par a supposé non nul on peut dire que la forme générale de l'équation du second degré est :

$$x^{2}+px+q=0$$

Et qu'elle est donc équivalente à :

$$\left ( x+\frac{p}{2} \right )^{2}=\frac{p^{2}-4q}{4}$$

Elle possède à l'ordre de multiplicité près, deux racines dans tout corps contenant $\mathbb{Q}$ où le nombre $\frac{p^{2}-4q}{4}$ possède deux racines.

Trois cas sont donc à considérer :

• $\frac{p^{2}-4q}{4}= 0$ une racine double dans $\mathbb{Q}$
• $\frac{p^{2}-4q}{4}\geqslant 0$, deux racines réelles qui sont $x_{1}-p/2$ et $x_{2}-p/2$ où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les racines carrées réelles de $\frac{p^{2}-4q}{4}$
• $\frac{p^{2}-4q}{4}< 0$, deux racines complexes conjuguées qui sont $z_{1}-p/2$ et $z_{2}-p/2$ où $z_{1}$ et $z_{2}$ sont les racines carrées complexes de $\frac{p^{2}-4q}{4}$

NB: Tout cela reste valable si on considère l'équation comme étant à coefficients dans $\mathbb{R}$, la seule différence étant que la racine double est a priori réelle.