Soit (G,.) un groupe. Une partie S de G est dite 'stable' pour la loi de G, si: ∀ (a,b)∈G×G on a a.b∈S.
De la sorte nous avons une loi produit 'induite sur S.
Retenons avant tout que:
Un 'sous-groupe' de G est une partie H stable de G ayant, pour la loi induite une structure de groupe.
Remarquons tout de suite que l'associativité de . sur G entraîne l'associativité de la loi induite sur H.
Maintenant, si nous voulons que (H,.) soit un groupe il faut que l'élément unité soit dans H, ce qui entraîne que H doit être non vide. Enfin il faut que pour tout élément x de H son inverse x-1 soit également dans H.
Remarquons enfin que si cette dernière propriété est vérifiée et si H est supposée non vide alors H contient forcément l'unité par stabilité.
Nous pouvons donc prendre pour définition minimale :
Un 'sous-groupe' de G consiste en la donnée d'une partie H non vide de G, stable pour . et stable pour le passage à l'inverse, c'est à dire que:
x∈H ⇒ x-1∈H.
Cette définition entraîne bien évidemment l'appartenance du neutre à H et fait donc que H, avec la loi induite est à son tour un groupe.
Remarquons maintenant la propriété suivante:
Si H est une partie stable et finie de G alors H est un sous-groupe de G.
En effet soit a un élément de H. D'après ce que nous avons vu l'application x→ax est une application de H dans H injective et comme H est fini elle est aussi surjective. Donc pour un certain x on a ax=a, le x en question ne peut donc être que l'élément neutre.
En outre par surjectivité ou a pour un certain x de H ax=1 puisque 1∈H donc le x en question est a-1.
Nous utiliserons par la suite une notation commode :
Nous écrirons simplement H<G pour indiquer que H est un sous-groupe de G.