Il résulte immédiatement de la définition que :

Si (Hi)i∈I est une famille de sous-groupes d'un même groupe G. Alors $H=\bigcap_{i\in I}H_{i}$ est encore un sous-groupe de G.

Soit maintenant X une partie quelconque de G. Dans ces conditions :

Il existe un plus petit sous-groupe de G contenant X, on l'appelle le 'sous-groupe engendré' par X, et on le note <X> lorsqu'il n'y a aucune ambiguïté sur G.
En effet considérons la famille formée de tous les sous-groupes de G contenant X et soit H leur intersection. Alors H est un sous-groupe de G, et par sa définition H contient X et est contenu dans tout sous-groupe de G contenant X.

Il est clair que le sous-groupe engendré par {1} est {1} et que le sous-groupe engendré par G est G.

Un cas intéressant et simple est le cas ou X={x} est un singleton. Dans ce cas on a une caractérisation très simple du sous-groupe engendré par X, c'est exactement l'ensemble des puissances de x positives ou négatives. Il suffit pour le voir de remarquer que l'ensemble de ces puissances est un sous-groupe de G et que tout sous-groupe de G contenant x doit contenir toutes ses puissances.

La réunion de deux sous-groupes de G n'est, en général pas un sous-groupe de G.

Prenons par exemple pour G le groupe multiplicatif des complexes de module 1. Soit H le sous-groupe formé des racines carrées de l'unité H={-1,+1} et soit K le sous-groupe des racines cubiques de l'unité K={1,j,j2}. Le produit (-1).j=-j n'est pas dans H∪K.

Cependant si H⊆K ou K⊆H alors la réunion des deux est évidemment un sous-groupe.

Cette remarque s'étend aux familles totalement ordonnées de sous-groupes.

On dit qu'une famille indexée (Hi)i∈I de sous-groupes de G est 'totalement ordonnée' (pour l'inclusion). Si pour tout couple d'indices (i,j)∈I×I on a soit Hi⊆Hj soit Hj⊆Hi.