Une première loi notée additivement (+) faisant de (A,+) un groupe abélien additif. Le neutre est comme d'habitude noté 0 et appelé élément nul. Une seconde loi notée multiplicativement (× ou . ou aucun symbole par simple juxtaposition).
En outre, cette seconde loi doit posséder les propriétés suivantes :
- Elle doit être associative, c'est à dire a(bc)=(ab)c pour tout triplet (a,b,c) de A3.
- Elle doit être distributive à gauche et à droite par rapport à l'addition, c'est à dire : a(b+c)=ab+ac et (a+b)c=ac+bc pour tout triplet (a,b,c) de A3.
En outre si la loi multiplicative possède une unité distinct de 0, on dit que l'anneau est 'unitaire'.
Si la loi multiplicative est commutative, on parle d'anneau 'commutatif' (étant entendu que l'addition est toujours supposée commutative).
Sauf mention expresse du contraire tous les anneaux considérés dans ce cours seront supposés unitaires, mais aucune hypothèse ne sera implicite concernant la commutativité.
Nous utiliserons systématiquement les notations additives et multiplicatives rappelées dans ce paragraphe sur les groupes. En particulier pour tout élément de x nous aurons ses multiples nx (n∈ℤ) et ses puissances xn (n∈ℕ). On se souviendra que les identités algébriques usuelles (développement de (a+b)n par exemple) ne sont pas valables dans un anneau non commutatif.
Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que dans un anneau unitaire les éléments 1 et -1 (pouvant être éventuellement confondus) sont des unités.
Le lecteur vérifiera également que :Un diviseur de zéro ne peut pas être une unité.