Notation multiplicative
Nous utiliserons d'une façon générale la notation multiplicative. Le composé de deux éléments a et b sera noté a.b ou a×b ou simplement ab lorsqu'il n'y aura aucun ambiguïté, on l'appelle leur produit.
L'associativité se traduit donc par (ab)c=a(bc) ∀a∈G et ∀b∈G.
Le neutre sera noté 1, et appelé élément unité conformément aux usages.
Le symétrique de a sera noté a-1 et appelé son inverse.
On définit également, par récurrence, les puissances positives ou négatives d'un élément.
Pour tout élément a de G :
D'abord pour n≥0
- a0=1
- a1=a
- an=an-1a
- an=(a-1)-n
Notation additive
La notation additive sera également utilisée mais nous la réserverons aux groupes commutatifs (abéliens).
- Le neutre sera noté 0 et appelé élément nul.
- Le composé de deux éléments a et b sera noté a+b et sera appelé leur somme.
- Le symétrique de a sera appelé son opposé et sera noté -a.
Enfin on va définir par récurrence les multiples d'un élément.
Pour tout élément a de G :
D'abord pour n≥0
- 0a=0
- 1a=a
- na=a+(n-1)a
- na=-(-n)a
Comme pour toutes les lois associatives, quand on a 3 éléments a,b,c l'écriture a.b.c (sans parenthèses) a un sens et peut être comprise comme (a.b).c ou comme a.(b.c). Plus généralement quand I={p,p+1,...,q-1,q} (p≤q) est un intervalle de ℕ l'écriture $$\prod_{i\in I}x_{i}$$ peut être définie par récurrence sur le nombre d'éléments de I comme $x_{p}.x_{p+1}...x_{q-1}.x_{q}$, avec les conventions que $\prod_{i\in I}x_{i}=1$ si I=∅ et $\prod_{i\in I}x_{i}=x_{p}$ si I={p} On a en outre une formule d'associativité généralisée si I et J sont deux intervalles disjoints contigus de sorte que H=I∪J est également un intervalle. $$\prod_{i\in H}x_{i}=\prod_{i\in I}x_{i}.\prod_{i\in J}x_{i}$$ Il va de soi qu'en notation additive on remplace le symbole $\prod$ par le symbole $\sum$, et que par commutativité on peut simplement supposer que I est un ensemble fini quelconque.