Définition

Soit L/K une extension.

Comme nous l'avons remarqué ici, L est muni d'une structure de K-espace vectoriel.

On appelle 'degré' de L/K et on note [L:K] la dimension de L considéré comme K-espace vectoriel.
Si [L:K] est fini on dit que L/K est 'finie'.

Soient L/K et M/L deux extensions, on sait qu'alors M/K est une extension.

Dans ces conditions :

[M:K]=[M:L].[L:K]

Soit (ai)i∈I une base de L/K et (bj)j∈J une base de M/L.

Alors (ci,j)=aibj(i,j)∈I×J est une base de M/K.

En effet tout m∈M s'écrit $m=\sum_{j\in J}m_jb_j$ où chaque $m_j$ est dans L.

On a donc $m_j=\sum_{i\in I}k_{i,j}a_i$ où chaque $k_{i,j}$ est élément de K.

Soit en substituant dans l'équation précédente $m=\sum_{j\in J}\sum_{i\in I}k_{i,j}a_ib_j$.

Ceci prouve que $c_{i,j}$ est un système générateur de M/K.

Supposons maintenant que $\sum_{j\in J}\sum_{i\in I}k_{i,j}a_ib_j=0$

Alors utilisant conjointement les propriétés de commutativité, distributivité, associativité on peut regrouper et écrire $\sum_{j\in J}\left ( \sum_{i\in I}k_{i,j}a_i \right )b_j=0 $

Mais comme $(b_j)$ est une base de M/L pour chaque j $ \sum_{i\in I}k_{i,j}a_i $ est nul.

et comme $(a_i)$ est une base de L/K, tous les coefficients $k_{i,j}$ sont nuls et $(c_{i,j})$ est libre.

$(c_{i,j})$ est donc une base de M/K. CQFD.

Exemples

  1. ℂ/ℝ est de degré 2 car (1,i) est une base de ℂ considéré comme espace vectoriel sur ℝ.
  2. Si K=ℚ, L=ℚ(√2), M=ℚ(√2,√5)=L(√5), alors [L:K]=2 car (1,√2) est une base de L/K. [M:L]=2 également car (1,√5) est une base de M/L, donc [M:K]=4, une base de M/K étant (1,√2,√5,√10).
  3. ℝ/ℚ n'est pas finie, car sinon ℝ serait dénombrable car isomorphe en tant qu'espace vectoriel à une produit fini d'exemplaire de ℚ qui est dénombrable.

Application

Tout corps commutatif fini a pour cardinal une puissance d'un nombre premier.
En effet si K est fini K est un corps de caractéristique p, p étant un nombre premier. Si Fp désigne le corps premier ℤ/pℤ et si K est fini alors K/Fp est une extension finie et K est isomorphe à un produit fini d'exemplaires de Fp, d'où le résultat.
Remarque:

Un théorème dû à Joseph Wedderburn stipule que tout corps fini est commutatif de sorte que notre hypothèse 'K fini commutatif' est redondante.