Définition

K et L étant des corps commutatifs, pour faire simple on peut dire que L est une 'extension' de K si K est un sous-corps de L.

Toutefois, pour ne pas être trop restrictifs, et pour pouvoir traiter des cas comme les situations respectives de ℂ par rapport à ℝ nous allons être obligés de raffiner un peu cette première définition intuitive.

Nous conviendrons donc que L est une extension de K si L contient un sous-corps isomorphe à K. C'est par exemple le cas de ℂ contenant comme sous-corps les nombres complexes de partie imaginaire nulle. De fait, dans cette situation nous identifierons K avec le sous-corps de L auquel il est isomorphe, moyennnant cette convention on est ramené à la première définition intuitive.

Le moment est venu de donner une définition formelle :
Une 'extension' L de K consiste en un morphisme injectif (monomorphisme) $ K\hookrightarrow L $ du corps K dans le corps L. Une telle extension sera notée L/K. K sera identifié à son image K' dans L par ce morphisme, moyennant quoi nous pourrons effectivement considérer K comme un sous-corps de L.

Remarquons qu'en vertu de cette proposition , tout morphisme d'un corps dans un autre est nécessairement un monomoprhisme.

Remarquons que si L/K est une extension, L est muni naturellement d'une structure d'espace vectoriel sur K.

En effet si $ i:K\hookrightarrow L $ est le monomorphisme en question il suffit de poser pour tout λ∈K et tout x∈L λx=i(λ)x.

Principe de transitivité

Si L/K et M/L sont deux extensions de corps alors M/K est également une extension de corps.

en effet si $ i:K\hookrightarrow L \text{ et } j:L\hookrightarrow M $ sont deux monomorphismes, alors $ j\circ i:K\hookrightarrow M $ est un monomorphisme.

De la même façon si M/K est une extension de corps, et si K'=i(K) est le sous-corps de M identifié à K, alors pour tout sous-corps L de M contenant K' , M/L et L/K sont des extensions.

La situation ci-dessus s'applique évidemment au cas où K est un sous-corps de L et où L est lui-même un sous-corps de M contenant K i et j étant les inclusions canoniques.

L/K apparaît alors comme une 'sous-extension' ou une extension 'intermédiaire' de M/K.

Exemples

  1. ℝ est une extension de ℚ.
  2. ℂ est une extension de ℝ.
  3. En vertu de ce qui précède ℂ est une extension de ℚ.
  4. Si K est un corps de caractéristique 0 alors K est une extension de ℚ.
  5. Si K est un corps de caractéristique p (p entier premier) alors K est une extension de ℤ/pℤ.
  6. Si K désigne l'ensemble des réels de la forme p+q√2 avec p∈ℚ et q∈ℚ, alors K est une extension de ℚ. Le seul point qu'il n'est pas immédiat de vérifier est la formule $ \left ( p+q\sqrt{2} \right )^{-1}=\frac{p}{p^{2}-2q^{2}}-\frac{q}{p^{2}-2q^{2}}\sqrt{2} $ quand (p,q)≠(0,0)
  7. Si K est un corps commutatif quelconque, et K(X) le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K, K(X)/K est une extension.

Isomorphisme d'extensions

Soient i:K→L et j:K'→L' deux extensions. Un "isomorphisme d'extensions" entre la première et la seconde consiste en la donnée d'une paire (λ, μ) d'isomorphismes de corps, λ:K→K' et μ: L→L', rendant commutatif le diagramme : $ $ \begin{matrix} K &\underset{\rightarrow }{i} &L \\ \lambda \downarrow& & \downarrow \mu \\ K' & \underset{\rightarrow }{j} & L' \end{matrix} $ $

Dans une telle situation de nombreuses identifications sont possibles, par exemple K,i(K), K' et j(K').

Un cas intéressant est celui où K=K' on a alors ce schéma :

$ $ \begin{matrix} K &\underset{\rightarrow }{i} &L \\ Id \downarrow& & \downarrow \mu \\ K & \underset{\rightarrow }{j} & L' \end{matrix} $ $
Les morphismes tels que μ se nomment les 'K-isomorphismes' de L dans L', leur ensemble est noté IsomK(L,L').

Ce sont des isomorphismes d'anneaux laissant K invariant, en même temps que des isomorphismes K-linéaires.

On s'intéresse maintenant au cas particulier de la situation ci-dessus où K=K', L=L' et λ=IdK et où i=j est l'injection canonique de K dans L. Le diagramme est donc :

$ $ \begin{matrix} K &\underset{\rightarrow }{i} &L \\ Id \downarrow& & \downarrow \mu \\ K & \underset{\rightarrow }{i} & L \end{matrix} $ $ Les automorphismes tels que μ sont ceux-là mêmes qui laissent K invariant, c'est à dire qui vérifient μ(x)=x ∀x∈K.
Nous les appelons les 'K-automorphismes' de L.Nous notons leur ensemble AutK(L)

Notons qu'il résulte de cette définition que :

Les K-automorphismes de L sont, en particulier, des applications K-linéaires.
Les K-automorphismes de L forment un groupe pour la composition, ce groupe est nommé 'groupe de Galois' de l'extension L/K. Nous noterons ce groupe Γ(L/K).
Plus généralement si L/K et M/K sont deux extensions d'un même corps K. Un 'K-morphisme' de L dans M consiste en la donnée d'un morphisme d'anneaux de L dans M laissant K invariant. Leur ensemble se note HomK(L,M).
Dans les hypothèses de la définition précédente, les K-morphismes de L dans M sont des applications linéaires et HomK(L,M) est naturellement muni d'une structure de K-espace-vectoriel. D'après ce résultat, ce sont tous des monomorphismes.