Nous supposons dans toute cette page que nous avons affaire à un anneau commutatif, unitaire et intègre. Pour revoir toutes ces notions vous pouvez retourner à la page des définitions.

Cet anneau, conformément aux usages sera noté (A,+,×) ou plus simplement A.

L'ensemble A* désigne comme toujours l'ensemble A privé de l'élément nul, neutre de l'addition A*=A-{0}. Nous considérons l'ensemble F=A×A* (produit cartésien). De façon usuelle les couples de F sont notés (a,b). Exceptionnellement, pour retrouver des notations et des formules connues nous noterons un tel couple $\frac{a}{b}$ ou bien a/b et nous l’appellerons une 'fraction'.

Nous commençons par définir sur F une relation d'équivalence.

Sur l'ensemble F la relation : $$\frac{a}{b}\equiv \frac{a'}{b'} \Leftrightarrow ab'=ba'$$ est une relation d'équivalence.

La relation est évidemment symétrique et réflexive.

Supposons a/b≡a'/b' et a'/b'≡a"/b" on a alors ab'=ba' et a'b"=b'a".

Par multiplication à droite par b" nous obtenons ab'b"=ba'b" en substituant ab' à ba' dans le membre de droite il vient ab'b"=bb'a" et en utilisant la commutativité ab"b'=ba"b' soit encore (ab"-ba")bb'=0.

Mais nous sommes dans un anneau intègre et comme b et b' sont supposés non nuls, il en est de même de bb'. Toujours pour des raisons d'intégrité il vient ab"-ba"=0 c'est à dire ab"=ba", qui signifie que a/b≡a"/b".

La relation est donc réflexive et c'est une relation d'équivalence.

On désigne par K l'ensemble quotient F/≡. Chaque élément de K est donc une classe d'équivalence de fractions.

Nous commençons par munir K d'une addition.

On suppose a/b≡a'/b' et c/d≡c'/d'. Dans ces conditions (ad+bc)/bd≡ (a'd'+b'c')/b'd'

Il faut donc montrer que ab'=ba' et cd'=dc' ⇒ (ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd.

soit encore en développant par distributivité : ab'=ba' et cd'=dc' ⇒ adb'd'+bcb'd'=a'd'bd+b'c'bd.

Cependant partant de ab'=ba' et multipliant par dd' nous avons adb'd'=a'd'bd.

Et partant de cd'=dc' et multipliant par bb' il vient bcb'd'=b'c'bd.

Il ne reste plus qu'à additionner ces deux égalités.

Un élément de K est donc une classe d'équivalence de fractions. Un tel élément pourra donc se noté a/b.

La remarque précédente prouve que :
En posant a/b+c/d=(ad+bc)/(bd). On définit une loi de composition interne sur K.

Nous affirmons maintenant que :

(K,+) est muni d'une structure de groupe abélien.
L'associativité s'écrit (a/b+c/d)+e/f=a/b+ (c/d+e/f). C'est donc une simple formule de calcul à vérifier. Il est clair que toutes les fractions de la forme 0/b (b≠0) sont équivalentes. Elles forment une classe qui est le neutre de +. La commutativité de + résulte de la commutativité de + et × sur A. L'opposé de a/b est (-a)/b.

On munit maintenant K d'une multiplication.

Si a/b≡a'/b' et c/d≡c'd' alors (ac)/(bd)≡(a'c')/(b'd')
il faut montrer que ab'=ba' et cd'=dc' &rRarr; acb'd'=bda'c' ce qui est évident par multiplication terme à terme.
On peut donc définir une multiplication sur K en posant (a/b).(c/d)=(ac)/(bd). En outre cette opération est associative, commutative, elle admet un élément unité, elle est distributive par rapport à l'addition définie plus haut.
La plupart des affirmations se vérifient par un simple calcul. L'unité est la classe de a/a où a est un élément non nul quelconque de A.
En résumé (K,+,×) avec les deux opérations définies ci-dessus, devient un corps commutatif. K est appelé le 'corps des fractions' de A.