G désigne un groupe on considère l'opération de G sur lui-même par les automorphismes intérieurs x:→g.x=gxg-1. Le stabilisateur de x est l'ensemble des g tels que gxg-1=x soit encore gx=xg est donc son centralisateur.
Z(G), désigne comme d'habitude le centre de G
Dans ces conditions :
Si G est fini et si x désigne un élément de G.
- Le cardinal de la classe de conjugaison de x divise |G|.
- Soit {xi}1≤i≤r, une famille de représentants des classes de conjugaison distinctes dans G, alors :$$\left | G \right |=\sum_{i=1}^{r}\left [ G:G_{i} \right ]$$ où Gi désigne pour chaque i le stabilisateur de xi.
- Soit {xi}1≤i≤k, une famille de représentants des classes de conjugaison distinctes non ponctuelles dans G,alors :$$\left | G \right |=\left | Z(G) \right |+\sum_{i=1}^{k}\left [ G:G_{i} \right ]$$
Les points i. et ii. sont des conséquences immédiates de ce théorème et de son corollaire.
Pour le point iii. il suffit de voir que l'orbite d'un élément est ponctuelle ssi il appartient au centre de G.