Soit G un groupe et H un sous-groupe propre de G. On note QH l'ensemble des classes à gauche de G modulo H. Les éléments de QH sont donc de la forme xH où x est un élément quelconque de G. Il est clair que :

Le groupe G opère sur QH par translations à gauche (g,xH):→g.xH=(gx)H.
Cette action est transitive.
Soient en effet xH et yH deux classes à gauche de QH. Il faut montrer qu'il existe g tel que yH=xgH. il suffit de prendre g=x-1y
Cette action est sans point fixe.
Comme H≠G il existe un x∈G tel que x∉H alors xH≠H=1.H. L'unique orbite n'est donc pas ponctuelle.
Le stabilisateur d'un élément xH∈QH est l'ensemble GxH=xHx-1.
g∈GxH⇔gxH=xH⇔gx∈xH⇔gx=xh⇔g=xhx-1 où h est élément de H.
Le noyau du morphisme γ:G→S(QH) est $\bigcap_{x\in G}^{ }xHx^{-1}$ qui est aussi le plus grand sous-groupe distingué de G contenu dans H.

On sait d'après ce théorème que le noyau de γ est l'intersection de tous les stabilisateurs de QH. Donc, compte tenu de ce que nous venons de voir :

$$Ker\left ( \gamma \right )=\bigcap_{x\in G}^{ }xHx^{-1}$$

C'est un sous-groupe normal de G puisque c'est un noyau.

Il est clair que Ker(γ)⊆H. car prenant en particulier x=1 on a g∈1H1-1=1H1=H.

Soit maintenant K un sous-groupe normal de G contenu dans H. Pour tout x de G on a xKx-1=K et xKx-1⊆xHx-1 donc K⊆xHx-1. Cela étant vrai pour tous les x de G, et compte tenu de la caractérisation du noyau de γ ci-dessus, on a bien K⊆Ker(γ). Donc Ker(γ) est bien le plus grand sous-groupe distingué de G contenu dans H.