h:G→G' étant un morphisme de groupe, on appelle 'noyau' de h et on note Ker(h) l'ensemble des éléments x de G tels que h(x)=1.
Il résulte de cette définition que, suivant la terminologie ensembliste Ker(h) est l'image réciproque de {1}. Or {1} est un sous groupe trivial de G', donc, en appliquant ce résultat :
Ker(h) est un sous-groupe de G.
Cependant nous avons même un peu plus :
Ker(h) est un sous-groupe distinguéde G.
En effet si x∈Ker(h) h(yxy-1)=h(y)h(x)h(y-1)=h(y)h(x)h(y)-1=h(y).1.h(y)-1=1
Attention ! En notation additive Ker(h)={x∈G|h(x)=0}.
h étant toujours un morphisme de groupes h:G→G' on appelle 'image' de h et on note Im(h) l'image directe de G par l'application h.
Compte tenu de ce résultat, il résulte de cette définition que :
Im(h) qui est a priori une partie de G' est en fait un sous-groupe de G'.
Voyons déjà un exemple classique :
Comme nous avons vu précédemment si H$\vartriangleleft$G est un sous-groupe distingué de G, l'application 'canonique' x→xH=Hx de G dans G/H admet H pour noyau et G/H pour image.
Soit G le groupe symétrique Sn des permutations de {1,2,...,n}.
A tout élément σ de Sn, nous associons sa signature ε(σ) à valeurs dans le groupe multiplicatif {-1;+1}.
L'application ε est un morphisme de groupes lorsqu'on munit Sn de la composition (ε(ρ$\circ$σ)=ε(ρ).ε(σ)).
Son noyau est donc ε-1({+1}), l'ensemble des permutations 'positives' qui forment donc un sous-groupe distingué de Sn appelé sous-groupe 'alterné' d'ordre n, et noté An.
Il résulte immédiatement des définitions que :
Une condition nécessaire et suffisante pour que h soit injectif est que Ker(h)={1}
La condition est clairement nécessaire. Supposons la satisfaite. Soient x et y dans G tels que h(x)=h(y). Multipliant à gauche par h(y)-1 il vient h(x)h(y)-1=1, soit encore
h(x)h(y-1)=1 ou bien h(xy-1)=1 qui se traduit par xy-1∈Ker(h), donc xy-1=1
soit encore y-1=x-1 et finalement x=y.
De la même façon :
h est surjectif si et seulement si Im(h)=G'.
Nous avons pour finir le théorème de décomposition :
Soit h:G→G' un homomorphisme de groupes. Alors il existe un homomorphisme surjectif π:G→G/Ker(h) et
un homomorphisme injectif φ:G/Ker(h)→G' tels que h=φ$\circ$π.
π est la surjection 'canonique' que nous avons vu ci-dessus. Dire que h(x)=h(y) revient à dire que x et y sont dans la même classe modulo Ker(h). Par ailleurs si x et y sont dans des classes distinctes modulo Ker(h), leurs images par h ne peuvent être égales
En outre si h est surjectif, alors φ est bijectif. Donc dans tous les cas :
h induit un isomorphisme de G/ker(h) → Im(h).