On se place systématiquement dans le cas d'un anneau A commutatif et unitaire.

Soient (A,+,×) et I un idéal de A. Remarquons que I est déjà un sous-groupe du groupe abélien (A,+), donc en particulier I$\triangleleft$A.

On peut donc former le groupe additif (A/I,+) dont les éléments sont les classes pour la relation x-y∈I, c'est à dire les ensembles de la formes x+I.

Soient maintenant x+I et y+I deux telles classes. et soient x' un représentant de la première classe éventuellement distinct de x et y' un représentant de la seconde classe, éventuellement distinct de y.

on a donc x'=x+i avec i∈I et y'=y+j avec j∈J. De là nous tirons x'y'=xy'+iy'=x(y+j)+iy'=xy+xj+iy'.
De là nous tirons xy-x'y'=xj+iy'.

Mais avec les hypothèses faites sur I xj∈I et iy'∈I donc xy-x'y'∈I ce qui signifie que xy et x'y' sont congrus modulo I.

On peut donc munir A/I d'une multiplication en posant x.y=x.y.

I est clair sur cette définition que:

Ce qui fait de (A/I,+,×)un anneau commutatif unitaire.

Cet anneau s'appelle l'anneau 'quotient' de A par I. L'application π:x→x de A sur A/I s'appelle la 'surjection canonique'

Nous étudions maintenant les propriétés de l'anneau A/I en fonction des propriétés de l'idéal I.

Un idéal P de A est dit 'premier' s'il est distinct de A et s'il possède la propriété suivante :
xy∈P ⇒x∈P ou y∈P

Avec cette définition il nous vient la propriété suivante:

A/I est intègre ssi I est premier.
Soit en effet I un idéal premier de A. Comme I≠A A/I est non nul. Soit x et y ∈A/I tels que x.y=0=I. Cela veut dire que xy=I donc que xy∈I donc que x∈I ou y∈I soit encore x=0 ou y=0. L'implication réciproque découle des mêmes calculs.
Un idéal M de A est dit 'maximal' s'il est distinct de A et s'il n'est contenu dans aucun idéal propre de A. C'est à dire que I idéal de A et M⊂I et M≠I ⇒ M=A.
Avec cette définition nous avons la propriété suivante :
I étant un idéal de A il y a équivalence entre :
  • I maximal
  • A/I est un corps
Soit I un idéal maximal de A, comme I≠A A/I n'est pas nul. Soit x un élément non nul de A/I. Il faut montrer qu'il existe y∈A tel que xy-1∈I soit 1=xy+h avec h∈I dans le cas contraire J=I+Ax serait un idéal distinct de I et non égal à A. L'implication réciproque se déduit des mêmes calculs.

Un corps étant en particulier un anneau intègre il en résulte que tout idéal maximal est en particulier premier.

Examinons maintenant ce qui se passe dans le cas de l'anneau ℤ des entiers relatifs. Nous connaissons les sous-groupes de (ℤ,+) qui sont de la forme nℤ où n est un entier positif. Or il advient que ces sous-groupes sont en fait des idéaux, car le produit par n'importe quoi d'un multiple de n reste un multiple de n.

Les groupes abéliens (ℤ/nℤ,+) sont donc naturellement munis d'une structure d'anneau. Or par le théorème de Bézout, dans ce cas les notions d'idéal premier et maximal coïncident. Les idéaux maximaux de ℤ sont ceux de la forme pℤ avec p premier. Il vient donc le théorème suivant :
Une condition nécessaire et suffisante pour que ℤ/nℤ soit un corps est que n soit un nombre premier.
Soit maintenant p un nombre premier et K=ℤ/pℤ le corps correspondant. Soit G={1,2,...,p-1}, le groupe multiplicatif correspondant d'ordre p-1. Tout élément de ce groupe à un ordre> qui divise p-1, ce qui signifie que xp-1=1 (mod p).