Soit G un groupe et x un élément de G. Nous avons alors le résultat très simple suivant :
Le sous-groupe de G engendré par {x} est exactement l'ensemble des puissances (positives et négatives) de x.
Il suffit de voir que tout sous-groupe de G contenant x doit d'après la définition contenir toutes les puissances de x, et de constater ensuite que l'ensemble de ces puissances forme bien un sous-groupe.
La proposition qui suit est à peu près évidente :
L'application φ n → xn est un homomorphisme de groupes de (ℤ,+) dans (G,×).
Donc le noyau de φ est un sous-groupe de (ℤ,+). Or ces sous-groupes sont connus ; ce sont les ensembles de la forme pℤ où p est un entier positif ou nul.
Deux cas peuvent alors se présenter :
Soit p=0 auquel cas Ker(φ)={0} et φ est injectif, soit p>0 p est alors le plus petit entier positif tel que xp=1. Le sous-groupe engendré par x se réduit alors à {x0,x1,...,xp-1}.
Il est donc fini.
Dans ce second cas on dit que p est "l'ordre" de x.
Ainsi par exemple dans le groupe diédral D2n, r est d'ordre 2n et s est d'ordre 2.
On dit qu'un groupe est 'cyclique' ou 'monogène' s'il est engendré par un seul élément.
La discussion ci-dessus se résume ainsi :
Tout groupe cyclique d'ordre p fini est isomorphe à (ℤ/pℤ,+). Tout groupe cyclique infini est isomorphe à (ℤ,+)
Il en résulte en particulier que tout groupe cyclique est abélien.
Voici une représentation de ℤ/8ℤ comme groupe des racines huitièmes de l'unité dans ℂ.
Ce groupe cyclique (multiplicatif) est engendré par ε=e2πi/8, mais pas seulement. Les éléments ε3, ε5, ε7
représentés en rouge sont également des générateurs on les appelle des racines 'primitives' de l'unité.
En fait il résulte immédiatement du théorème de Bézout que les générateurs de ℤ/nℤ sont les entiers m , 0≤m≤n-1 qui sont premiers avec n.
Voyons maintenant un résultat important :
Tout groupe fini d'ordre premier est cyclique et engendré par n'importe lequel de ses éléments non neutre.
En effet soit G un tel groupe d'ordre p premier, et soit x∈G un élément de G x≠1. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par x. D'après le théorème de Lagrange l'ordre de H est un diviseur de p.
L'ordre de H est donc p ou 1, mais comme x n'est pas l'unité c'est forcément p.
Nous avons également le résultat suivant :
Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est lui-même cyclique.
Soit en effet H un sous groupe non trivial de ℤ/nℤ d'ordre m diviseur de n, et soit k le plus petit élément >0 de H. Alors tout élément de H est un multiple de k. Dans le cas contraire il existerait p∈H non multiple de k.
Mais alors une division euclidienne nous donnerait un r<k tel que p=qk+r et r appartiendrait à H, contrairement à la définition de k.
Les sous-groupes non triviaux de ℤ/12ℤ sont donc ℤ/2ℤ (engendré par 6), ℤ/3ℤ (engendré par 4), ℤ/4ℤ (engendré par 3), ℤ/6ℤ (engendré par 2).
Nous avons aussi cet autre résultat :
Tout groupe quotient d'un groupe cyclique est lui-même cyclique.
Soit G cyclique et H un sous-groupe de G (donc G et H sont en particulier cycliques et abéliens). H est donc distingué dans G. Soit π l'application canonique G→G/H, alors si G est engendré par x G/H est engendré par π(x).
