Un 'morphisme' de groupe (ou bien 'homomorphisme' de groupe) est une application f d'un groupe G (source) dans un groupe G' (but) qui 'conserve les structures' au sens suivant :
f(xy)=f(x)f(y).

Attention aux notations ! La définition ci-dessus suppose que les deux groupes, G et G' sont notés multiplicativement. Si on utilise des notations additives pour G et G' la formule devient f(x+y)=f(x)+f(y), si G est noté additivement et G' multiplicativement f(x+y)=f(x)f(y), etc...

Si G'=G, un homomorphisme de G dans lui-même s'appelle un 'endomorphisme' de G.
Un homomorphisme bijectif de G dans G' est appelé un 'isomorphisme' de groupes.

Si G est isomorphe à G' nous noterons G≅G'. Deux groupes isomorphes définissent la même 'structure', ils ne sont pas considérés comme fondamentalement distincts.

Voici un exemple de deux groupes finis d'ordre 4 NON isomorphes (donc des structures différentes). Le premier est le groupe additif ℤ/4ℤ le second est connu sous le nom de Vierergruppe de Klein. Notons que dans le second tout élément est 'auto-inverse'. Si les deux groupes étaient isomorphes la même propriété serait vérifiée pour le premier groupe.

Un endomorphisme d'un groupe G qui est en même temps un isomorphisme s'appelle un 'automorphisme' de G.

Voyons immédiatement quelques propriétés :

Si f:G→G' est un morphisme de groupes f transforme le neutre de G en le neutre de G'. C'est à dire par exemple en notation multiplicative f(1)=1, en notation additive f(0)=0
f(1x)=f(1)f(x)=f(x). De sorte qu'on obtient le résultat en multipliant les deux membres par f(x)-1
Si f:G→G' est un morphisme de groupes, ∀x∈G on a f(x-1)=f(x)-1.
f(xx-1)=f(x)f(x-1)=f(1)=1
Si f:G→G' est un homomorphisme de groupes l'image directe de tout sous-groupe H de G est un sous-groupe de G'.
En effet si H<G f(1)=1∈f(H) si x,y∈H f(xy)=f(x)f(y)∈f(H). Si x∈H f(x)f(x-1)=f(1)=1∈f(H).
Si f:G→G' est un homomorphisme de groupes l'image réciproque de tout sous-groupe H' de G' est un sous-groupe de G.
1∈f-1(H') car f(1)=1∈G'. Supposons que x et y appartiennent à f-1(H'), cela signifie que f(x)∈H' et f(y)∈H'. Donc f(x)f(y)=f(xy)∈H', soit encore xy∈f-1(H'). Et pour finir si x∈f-1(H') f(x)f(x-1)=f(x)f(x)-1f(1)=1, qui prouve que si x∈f-1(H'), alors x-1∈f-1(H').
Le composé de deux homomorphismes de groupes est encore un homomorphisme de groupes. Plus précisément si f:G→G' et g:G'→G" sont des homomorphismes de groupes, alors g$\circ$f:G→G" est également un homomorphisme de groupes.

La preuve est immédiate. Ce résultat admet le corollaire suivant :

L'ensemble des automorphismes de G avec la loi de composition est muni d'une structure de groupe. Ce groupe apparaît donc comme un sous-groupe du groupe de toutes les permutations de G.
Là encore il s'agit d'un résultat immédiat.

Exemple concret

Reprenons l'étude des groupes d'ordre 4 et le programme de listage des candidats : 
Les quatre carrés latins réduits d'ordre 4 sont':
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1

1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 2 1
4 3 1 2

1 2 3 4
2 3 4 1
3 4 1 2
4 1 2 3

1 2 3 4
2 4 1 3
3 1 4 2
4 3 2 1

Le programme qui suit va démontrer que le premier groupe n'est isomorphe à aucun des 3 suivants et que le second est isomorphe aux deux derniers. On reconnaît que le dernier est le groupe cyclique d'ordre 4.Il en résultera que pour un ensemble à 4 éléments il n'existe que deux structures de groupe distinctes, le groupe cyclique et le 'Vierergruppe de Klein'