Soit A un anneau principal et a1,a2,...an des éléments de A.

Tout multiple de ai est un élément de l'idéal principal (ai)=Aai. Les multiples communs à tous les ai sont donc des éléments de l'intersection (a1)∩(a2)∩...∩(an) qui est un idéal $\mathfrak{I}$ (revoir cette page). Comme A est principal il existe un élément p de A (défini à une multiplication près par une unité de A), tel que $\mathfrak{I}$=(p)=Ap.

De par sa définition p possède les propriétés suivantes :
  1. p est un multiple de tous les ai.
  2. Tout multiple commun de tous les ai est un multiple de p
p s'appelle le 'plus petit commun multiple' (PPCM) des ai (1≤i≤n) (notation a1∨a2∨...∨an)
Dans le cas des systèmes de deux éléments, il existe une relation entre PGCD et PPCM. Plus précisément,
Soient a et b deux éléments d'un anneau principal A, d un PGCD de (a,b), p un PPCM de (a,b). Alors ab et pd sont associés.

Posons a=a'd et b=b'd, alors d'après ce résultat a' et b' sont premiers entre eux.

On peut écrire a'b'd=ab'=ba' il en résulte que a'b'd est un multiple commun à a et b, donc à p a'b'd∈(p).

Réciproquement nous avons p=xa=yb soit xa'd=yb'd. On en déduit par simplification par d élément non nul de A, que xa'=yb', puisque A est intègre.

Donc b' divise xa' et est premier avec a' donc b' divise x, d'après le théorème de Gauss, on peut donc écrire x=zb', d'où p=zb'a=za'b'd. Donc p∈(a'b'd).

Il en résulte que (p)=(a'b'd)

D'après ce résultat p et a'b'd sont associés. Il existe donc un élément inversible u de A tel que p=a'b'du, soit en multipliant par d, pd=a'db'du=abu, CQFD.
Le théorème ne se généralise pas à un système de n éléments, n entier quelconque >2, prendre par exemple le système (a,a,b).