On suppose que tous les anneaux considérés sont commutatifs et unitaires. Soit donc A un tel anneau. On rappelle que l'idéal engendré par {x} x∈A, que nous noterons (x) est l'ensemble de ses multiples Ax et que cet idéal est qualifié de 'principal'.
On dit que x est un 'diviseur' de y, et on écrit x|y, si y est un multiple de x c'est à dire s'il existe a∈A tel que y=ax. Inversement si x n'est pas un diviseur de y nous notons x$\nmid$y.
Il résulte immédiatement de cette définition que :
Si x est un diviseur de y (y)⊆(x) et réciproquement.
En effet si y=ax alors tout multiple de y est un multiple de x, donc (y)⊆(x). Supposons réciproquement (y)⊆(x) alors comme y∈(y) on a y∈(x) donc y=ax.
En outre :
La relation x|y est en outre transitive, c'est à dire que x|y et y|z ⇒ x|z.
Deux éléments x et y sont dits 'associés', s'il existe un élément inversible a (une unité de A) tel que y=ax.
Il s'agit bien entendu d'une relation symétrique car y=ax ⇔x=a-1y, et même d'une relation d'équivalence.
En outre :
x et y associés équivaut à x divise y et y divise x.
En effet y=kx et x=hy implique y=khy donc kh=1 soit h=k-1.
Donc en conclusion,
Si x et y sont associés, ils engendrent le même idéal principal, (x)=(y) et réciproquement.
Remarquons maintenant que :
Tout élément x de a admet pour diviseurs les unités de A ainsi que les éléments qui lui sont associés au sens précédent.
En effet si a est inversible on a toujours x=(aa-1)x=a(a-1x). Inversement si y=ax x divise évidemment y.
On dit que A est un anneau 'principal' si A est intègre et si tout idéal de A est principal.
Tout corps K est évidemment un anneau principal puisque les seuls idéaux sont {0} engendré par 0 et K engendré par 1. Mais il existe beaucoup d'autre exemples (voir cette page).
Soit A un anneau principal et x un élément de A.
On dit que x est 'irréductible', si ses seuls diviseurs sont les unités de A et les éléments qui lui sont associés.
Dans un anneau principal, x irréductible ⇔ (x) maximal.
En effet supposons x irréductible et soit I=(x) supposons que J est un idéal vérifiant I⊂J, J étant strictement plus grand que I. Puisqu'on est dans un anneau principal J=Ay. On a donc Ax⊂Ay qui nous dit que y est un diviseur de x compte tenu de ce qui précède. Mais y n'est pas inversible car on aurait alors J=A, et y n'est pas associé à x sinon on aurait J=I. I est donc maximal.
Supposons inversement x non irréductible et soit y un diviseur de x ni inversible ni associé à x. On voit qu'alors J=Ay est un idéal de A contenant I, distinct de I et de A.
Dans un anneau commutatif unitaire un élément p est dit 'premier' si pour tout produit ab divisible par p soit a est divisible par p soit b est divisible par p.
Il est clair sur les définitions que :
Tout élément premier est irréductible, et dans un anneau principal les deux notions coïncident.
Supposons p irréductible. supposons que p divise le produit ab et ne divise pas a. Puisque p est irréductible un pgcd de p et a est soit inversible soit associé à p puisque c'est en particulier un diviseur de p. Dans le second cas p diviserait a contrairement à l'hypothèse. Nous avons donc une relation de Bézout entre a et p up+va=1, on en déduit b=bup+vba qui prouve que b est divisible par p puisque ba l'est.