Enoncé du problème

Avec la règle et le compas on peut facilement créer des angles de 90° et de 60°.

On sait qu'il est facile de partager un angle en deux, à l'aide de la règle et du compas. Revoir cette construction.

On peut donc fabriquer des angles de 45° par division de l'angle droit.

On peut fabriquer des angles de 30° par division de l'angle de 60° en deux.

Par soustraction on peut fabriquer des angles de 15°=45°-30°.

A partir de l'angle de 108° il est possible d'obtenir l'angle de 27°, donc par soustraction l'angle de 3°.

Mais peut-on fabriquer des angles de 20°, de 1° ?, Il faudrait pour cela diviser en trois angles égaux l'angle de 60° ou celui de 3°.

Il est aisé de partager l'angle droit en trois à l'aide de triangles équilatéraux.

Beaucoup de mathématiciens ont longtemps cherché, en vain, une méthode géométrique pour réaliser la trisection d'un angle quelconque à la règle et au compas.

Ces recherches ont conduit à des solutions alternatives.Dès le IIIe siècle av. J.-C., Archimède proposa une méthode par ajustement (ou neusis), à l'aide d'un compas et d'une règle dotée de deux graduations. Au IIe siècle av. J.-C., Nicomède utilisa une courbe auxiliaire, la conchoïde de droite pour déterminer la solution.

Les recherches se sont poursuivies pendant des siècles.

Transformation du problème (cas d'un angle de 20°

• cos(3a)= cos(a) cos(2a) – sin(a) sin(2a)
• cos(3a)=  cos(a) (cos²(a) – sin²(a)) – 2sin²(a)cos(a)
• cos(3a)=cos(a) (2cos²(a) – 1) – 2(1 – cos²(a))cos(a)
• cos(3a)= 4cos³(a) – 3cos(a)

Pour a=20° cos(3a)=1/2.

L'équation à résoudre en x=cos(a) est donc :

8x³ – 6x – 1=0

Soit par le changement de variable y=2x

y³ – 3y – 1=0

Mais en 1837, Pierre-Laurent Wantzel démontra le théorème qui porte son nom, et qui conclut que cette équation n'est pas résoluble à la règle et au compas.