On a défini, au paragraphe précédent, la notion de produit direct interne de deux sous-groupes d'un même groupe.

Nous l'étendons maintenant au cas d'un nombre fini quelconque de sous-groupes :

Soit G un groupe et H1,H2, ... ,Hk des sous-groupes de G. On dit que G est le 'produit direct des Hi' et on note G=H1×H2×...×Hk, lorsque les conditions suivantes sont réalisées :

  1. G=H1H2...Hk
  2. Hi∩(H1∩...∩Hi-1∩Hi+1∩..∩Hk)={1}
  3. hihj=hjhi ∀hi∈Hi et ∀hj∈Hj quels que soient 1≤i<j≤k

La notation H1H2...Hk est ici évidente.

Il est clair que dans ces conditions :
Tout élément h de G s'écrit de manière unique h=h1h2...hk où chaque hi est dans Hi et que G s'identifie par un isomorphisme au produit direct externe des k groupes H1, H2, ...,Hk.