Soient H et K deux groupes. On désigne par Aut(H) le groupe des automorphismes de H (pour la composition). On suppose qu'on a de plus un morphisme φ:K→Aut(H). On se propose (à des isomorphismes près) de construire un groupe G, noté G=H⋊K, contenant K comme sous-groupe, et H comme sous-groupe distingué tel que :
  1. HK=G
  2. H∩G={1}
  3. Pour tout couple (h,k)∈H×K kh=φ(k)(h)k ou φ(k)(h)=khk-1

On définit G comme le produit cartésien H×K et on muni G d'une loi produit : (x,y).(x',y')=(xφ(y)(x'),yy').

On vérifie qu'on a bien une loi de groupe, le neutre étant (1,1).

Les applications i:H→H'=H×{1} et j:K→K'={1}×K sont des isomorphismes permettant d'identifier H et H' d'une part, K et K' d'autre part.

Il résulte de la définition de la loi de G que f:G→K (x,y)→y (projection) est un morphisme surjectif de groupes de G sur K' dont le noyau est H' qui est donc distingué dans G.

L'égalité H'∩K'={1} est évidente et de plus (h,1).(1,k)=(h.1,k.1)=(h,k) prouve que H'K'=G. On a donc bien G=H'⋊K'.

Le groupe G ainsi construit dépend essentiellement de l'automorphisme φ, il est donc plus logique d'écrire (identifiant H' et H, K' et K) G=H⋊φK.

Si φ est l'application triviale φ(k)=Id on retrouve le produit cartésien usuel de deux groupes.
Supposons maintenant donnés deux sous groupes de G tels que G=H⋊K. Considérons le morphisme φK→Aut(H) ainsi défini φ(y) est l'automorphisme intérieur de H associé à y. φ(y)(x)=yxy-1 . On peut alors affirmer :
L'application (h,k)→hk établit un isomorphisme entre H⋊φK et G.
Remarque (Antoine Ducros): Dans le cas interne le morphisme φ est imposé par la situation φ(y)est l'automorphisme intérieur de H associé à y. Dans le cas externe φ est donné a priori et on construit la loi de G de façon à forcer φ(y) à être la restriction à H de l'automorphisme intérieur de G associé à y.