Nous reprenons les notations introduites ici.

Soit (Si)i∈I une famille (finie ou non, dénombrable ou non) de séries formelles à coefficients dans un anneau A.

$$S_{i}=\sum_{n=0}^{\infty }a_{i,n}X^{n}$$
Cette famille est dite 'sommable' si pour tout n∈ℕ la famille (ai,n)i∈I ne comporte qu'un nombre fini d'éléments non nuls de A.

Sous les hypothèses ci-dessus on peut définir des éléments an par la formule :

$$a_{n}=\sum_{i\in I}a_{i,n}$$

Puisqu'en fait toutes les sommes considérées sont finies.

Cela dit, avec ces notations :
La série formelle $S=\sum_{i=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$ (qui est donc parfaitement définie) s'appelle la 'somme' de la famille $\left ( S_{i} \right )_{i\in I}$ et se note $S=\sum_{i\in I}S_{i}$.

Il résulte de la définition de l'ordre d'une série, que :

La famille $\left ( S_{i} \right )_{i\in I}$ est sommable si et seulement pour tout entier n, l'ensemble des i∈I tels que ord(Si)≤n est fini.
En particulier :
Si la famille (Si)i∈ℕ, indexée par ℕ est telle que ord(Si)≥i, alors la famille Si est sommable.
De sorte que, par exemple pour n∈ℕ la famille (Xn) est sommable, ce qui justifie pleinement la notation : $$\left ( a_{n} \right )_{n\in \mathbb{N}}= \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$$ introduite ici.

Avec ces définitions et ces notations, nous avons le théorème :

  1. Toute sous-famille d'une famille sommable est elle-même sommable
  2. (associativité généralisée) Si la famille $\left ( S_{i} \right )_{i\in I}$ est sommable, et si $I=\bigcup_{j\in J}I_{j}$ est une partition de $I$ alors : $$\sum_{i\in I}S_{i}=\sum_{j\in J}\left ( \sum_{i\in I_{j}}S_{i} \right )$$
  3. (distributivité généralisée) Si la famille $\left ( S_{i} \right )_{i\in I}$ est sommable alors pour toute série T∈A[[X]] la famille produit $(S_{i}T)$ l'est aussi et on a : $$\left ( \sum_{i\in I}S_{i} \right )T=\sum_{i\in I}S_{i}T$$

Pour démontrer ces égalités on utilise la remarque suivante :

Si pour tout entier n on a ord(A-B)>n alors A=B.

Montrons par exemple iii.

Fixons n∈ℕ. Soit $$J=\left \{ i\in I | ord\left ( S_{i} \right )\leqslant n \right \}$$.

L'ensemble $J$ est fini puisque la famille $\left ( S_{i} \right )_{i\in I}$ est sommable. Donc :

$$\left ( \sum_{i\in J}S_{i} \right )T=\sum_{i\in J}S_{i}T$$

par distributivité ordinaire (finie).

Mais on a : $$ord\left [ \left ( \sum_{i\in I}S_{i} \right )T-\left ( \sum_{i\in J}S_{i} \right )T \right ]> n$$ et $$ord\left [ \sum_{i\in I}S_{i}T - \sum_{i\in J}S_{i}T\right ]> n$$ Il vient : $$ord\left [ \left ( \sum_{i\in I}S_{i} \right )T-\sum_{i\in I}S_{i}T \right ]>n$$