Polynômes

Nous suivons ici le plan de Michel Coste.

Commençons par quelques définitions.

Définitions

La structure de l'ensemble des séries formelles est riche.

Structure d'algèbre

La notion de 'sommabilité' introduite ici ne fait appel à aucune notion d'analyse ou d'intégration.

Familles sommables

Sous certaines conditions, la substitution d'une série à l'indéterminée donne une nouvelle série.

Composition

Avec l'hypothèse supplémentaire que A est un corps commutatif, nous pouvons caractériser les éléments inversibles de A[[X]].

Inverse d'une série formelle

Nous définissons maintenant les dérivées du premier ordre et d'ordre supérieur d'une série formelle, ce qui nous évitera d'avoir à le refaire pour les polynômes.

Dérivée d'une série formelle

Si A est intègre il en est de même de A(X). On peut donc former son corps des fractions.

Corps A((X))

Nous avons retrouvé ici un formalisme et des notations que connaissent bien tous ceux qui ont étudié les fonctions 'analytiques' d'une ou plusieurs variables complexes.

Séries entières

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Nous commençons, comme toujours, par donner quelques définitions.

Définitions

Nous examinons maintenant les opérations définies sur les anneaux de polynômes, principalement par héritage des séries formelles.

Structure algébrique

Il est facile de caractériser les éléments inversibles d'un anneau de polynômes quand l'anneau des coefficients est intègre.

Cas des anneaux intègres

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Nous supposons dans tout ce chapitre que K est un corps commutatif, donc en particulier un anneau intègre.

Rappelons d'abord quelques définitions générales.

Rappels

Nous examinons maintenant une opération tout à fait semblable à la division euclidienne dans l'anneau ℤ.

Division euclidienne

Où l'on voit que, compte tenu de ce qui précède, K[X] possède des propriétés tout à fait voisines de celles de ℤ.

K[X] anneau principal

Comme dans le cas de l'anneau ℤ nous donnons une définition du PGCD et nous étudions ses propriétés.

PGCD de deux polynômes

Comme dans le cas de l'anneau ℤ nous donnons une définition du PPCM et nous étudions ses propriétés.

PPCM de deux polynômes

Voici maintenant une opération qui ressemble fort à la division euclidienne u point de vue algorithmique, à cette différence près qu'on peut la continuer indéfiniment. L'utilité apparaîtra dans l'étude des fractions rationnelles.

Division suivant les puissances croissantes

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Rappelons d'abord quelques définitions générales.

Multiplicité d'une racine

Nous voyons ici dans quel cas on peut identifier un polynôme de K[X]à une fonction de K dans K.

Fonctions polynomiales

Les deux théorèmes suivants se trouve dans les ouvrages de calcul différentiel. Ils donnent des approximations locales des fonctions plusieurs fois différentiables, par des polynômes. On va trouver ici des formules 'exactes' (un polynôme s'approxime exactement par un polynôme), ne faisant appel qu'à des considérations algébriques, donc en se fondant sur la notion de dérivation des polynômes, a priori indépendante de l'analyse.

Formule de Mac-Laurin

La formule de Taylor se déduit immédiatement de celle de Mac Laurin, elle permet de caractériser les racines multiples d'un polynôme.

Formule de Taylor

Nous abordons ici une notion importante et définissons un modèle de corps dont ℂ est un représentant.

Corps algébriquement clos

Les résultats précédents nous permettent de caractériser les polynômes irréductibles de ℝ[X]. Quelques observations nous permettent de localiser les racines réelles d'un polynôme à coefficients réels.

Cas de ℝ[X]

Nous montrons maintenant que les coefficients d'un polynôme peuvent s'obtenir simplement à partir de ses racines, si elles sont toutes dans K.

Relations entre coefficients et racines

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Rappelons d'abord quelques définitions générales.

Définitions et généralités

Nous utilisons ici le fait que K(X) s'identifie à un sous corps de K((X)).

Développement en série

Tout comme nous avons introduit les fonctions polynomiales, nous introduisons les fonctions rationnelles.

Fonctions rationnelles

Décomposition en éléments simples.

Décomposition en éléments simples

Voici maintenant comment, dans le cas des complexes, et accessoirement des réels, obtenir la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.

Pratique de la décomposition

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Définitions générales.

Définitions et généralités

Un polynôme à deux indéterminées peut être vu comme un polynôme à une indéterminée dont les coefficients sont eux-mêmes des polynômes.

Isomorphismes canoniques

Nous introduisons les notions de degrés pour un polynôme à plusieurs variables.

Degrés partiels, degré total

Comme pour les polynômes à une indéterminée, nous pouvons introduire les fonctions polynomiales à plusieurs variables.

Fonctions polynomiales à plusieurs variables

Nous introduisons les dérivées partielles et établissons la formule de Taylor pour plusieurs variables

Dérivées partielles

Nous déterminons maintenant un critère d'homogénéité.

Formule d'Euler

Et voici une généralisation de la formule de Taylor, déjà vue pour les polynômes à une seule indéterminée.

Formule de Taylor

Nous étudions systématiquement les polynômes symétriques déjà rencontrés dans l'expression des coefficients en fonction des racines pour les polynômes à une indéterminée.

Polynômes symétriques

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Nous commençons, comme toujours par définir les objets manipulés.

Définition

Nous examinons maintenant la structure algébrique des polynômes à une infinité de variables.

Structure de A-algèbre

Nous introduisons ici aussi les notations standard exprimant les polynômes comme sommes de monômes.

Écriture canonique

Comme dans le cas d'une ou d'un nombre fini de variables nous mettons en relief les isomorphismes usuels.

Isomorphismes usuels

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