A, dans cette page et tout ce chapitre désigne un anneau commutatif unitaire.

Une 'série formelle' (à coefficients dans A) est tout simplement un élément de l'espace produit Aℕ.
Donc une série formelle est une suite S=(an)n∈ℕ Nous rappelons qu'une telle suite n'est rien qu'un autre nom pour une application de ℕ dans A. Nous avons déjà rencontré cet ensemble, plus précisément à cet endroit. Nous en déduisons que :
Les séries formelles sont munies naturellement d'une structure de A-module, avec les lois :
  • addition :(an)+(bn)=(an+bn)
  • produit par un scalaire : λ(an)=(λan)
Le neutre est la série 'nulle' (0,0,...,0)
L'ensemble des séries formelles à coefficients dans A se note A[[X]].

Nous pourrons, dans un paragraphe suivant, donner un sens au symbole X, et faire des rapprochements avec des théories connues mais pour l'instant nous nous contentons de considérer A[[X]] comme une simple notation.

Si A est un corps K alors K[[X]] est un espace vectoriel sur K.

Nous donnons maintenant une définition importante :
Si S=(an)n∈ℕ est une série formelle de A[[X]] de deux choses l'une :
  • Soit S≠0 auquel cas nous posons ord(S)= le plus petit entier n tel que an≠0
  • Soit S=0 auquel cas nous posons ord(S)=+∞
ord(S) s'appelle "l'ordre" (ou la 'valuation') de S et est donc à valeurs dans ℕ+{+∞}