A désigne ici un anneau commutatif unitaire et M un A-module.

X désigne une partie de M, finie ou non.
Alors l'intersection de tous les sous-modules de M contenant X reste un sous-module de M, c'est le plus petit sous-module de M contenant X, on l'appelle le sous-module 'engendré' par X.
Bien évidemment quand A est un corps on parle de 'sous-espace vectoriel engendré'.

Ceci est tout à fait clair compte tenu de ce résultat.

On s'intéresse maintenant au cas où X est une partie finie.

Commençons par le cas d'un singleton X={x}. On note Ax l'ensemble des λx avec λ∈A. Alors il est clair que le sous-module engendré par {x} est exactement Ax.

Supposons maintenant que X est finie X={x1,x2,...,xn}. Tout sous-module contenant X doit contenir x1, donc Ax1, x2 donc Ax2, ... ,xn donc Axn. Tout sous-module contenant X doit donc contenir la réunion des Axi, donc leur somme c'est à dire l'ensemble des vecteurs de la forme λ1x1+λ2x2+...+λnxn.

Tout vecteur de la forme λ1x1+λ2x2+...+λnxn s'appelle une 'combinaison linaire' des xi.
Nous avons donc vu que :
Le sous-module engendré par X={x1,x2,...,xn} est exactement l'ensemble des combinaisons linéaires des xi.
La notion de combinaison linéaire s'étend aux partie infinies. Supposons X={xi}i∈I.
Un vecteur x est dit 'combinaison linéaire' des éléments de X s'il existe une partie finie J de I telle que $x=\sum_{i\in J}^{ }\lambda _{i}x_{i}$.

Cette fois encore on vérifie que l'ensemble de telles combinaisons linéaires forme un sous-module de M et que tout sous-module contenant X doit contenir ce sous-module.

Nous avons donc caractérisé le sous-module engendré par X dans tous les cas.

Le sous-module engendré par X est l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de X.
Une famille $\mathfrak{F}$=(xi)i∈I d'éléments d'un A-module M est dite 'génératrice' si elle engendre M en tant qu'ensemble, c'est à dire si M est l'ensemble des combinaisons linéaires finies des éléments de $\mathfrak{F}$.
On dit que M est un A-module 'de type fini'. si M a une famille génératrice finie.
Donc, si nous explicitons, pour un module M de type fini il existe n vecteurs (x1,x2,...,xn) tel que tout vecteur de M puisse s'écrire comme combinaisons linéaire des xi à coefficients dans A.