Modules libres et de type fini
Les modules généralisent la notion d'espace vectoriel, le corps de base étant remplacé par un anneau. Voyons tout de suite les :
Et voici quelques exemples de modules sur un anneau:
Quelques procédés pour fabriquer de nouveaux modules à partir de modules existants et qui fournissent de nouveaux exemples importants :
Nous suivons le plan qui consiste à présenter les sous-objets immédiatement après les objets, les sous-ensembles des ensembles, les sous-groupes des groupes, les sous-anneaux des anneaux, et maintenant tout naturellement les sous-modules des modules.
Quelques exemples pour illustrer le concept précédent.
Comme pour les groupes et les anneaux nous voyons comment générer de nouveaux sous-modules à partir de sous-modules existants.
Opérations avec les sous-modules
Nous nous intéressons particulièrement au processus de génération.
Quelques exemples pour illustrer le concept précédent.
Nous examinons maintenant quelques propriétés qui découlent des définitions: Comme dans le cas des groupes et des anneaux, nous définissons le noyau et l'image d'un homomorphisme et nous introduisons la notion de quotient.Pour les trois pages suivantes nous suivons le plan de Nicolas Jacon (Université de Reims).
Nous introduisons maintenant le concept de module 'de type fini' :
Nous définissons maintenant la 'torsion' d'un module : Voici maintenant le concept de module 'libre':