On vérifie immédiatement que :
L'intersection d'une famille de sous-modules d'un même A-module reste un sous-module.
On a déjà vu, en effet que c'est un sous-groupe. Il suffit donc de vérifier la stabilité de la loi externe.
Parallèlement à ce qui a été fait pour les idéaux nous définissons les sommes de sous-modules. Soit donc (Mi)i∈I une famille de sous-modules d'un même A-module M.On appelle 'somme' des sous modules Mi l'ensemble des sommes finies d'éléments des Mi. Pour être tout à fait clair :
$$x\in \sum_{i\in I }^{ }M_{i}\Leftrightarrow \exists J\subseteq I, J fini \text { tel que } x=\sum_{i\in J}^{ }x_{i} \text{ et }x_{i}\in M_{i} \forall i\in J$$.
Voyons tout de suite une propriété de cette somme.
Il est clair que la réunion d'une famille finie ou non de sous-modules n'est en général pas un sous-module. Prendre par exemple pour contre exemple la réunion de deux droites dans le plan. Cependant tout sous-module contenant la réunion des Mi doit nécessairement contenir la somme des Mi.
La somme des Mi est donc le plus petit sous-module de M qui contient $\bigcup_{i\in I}^{ }M_{i}$.
Soient maintenant M1 et M2 deux sous-modules d'un même A-module M. et soit S=M1+M2 leur somme.
On dit que S est 'somme directe' de M1 et M2, si tout élément x de S peut s'écrire de manière unique sous la forme x1+x2 avec x1∈M1 et x2∈M2. On écrit alors $S=M_{1}\bigoplus M_{2}$
On remarque tout de suite que :
Une condition nécessaire et suffisante pour que S soit une somme directe est que $M_{1}\cap M_{2}=\left \{ 0 \right \}$.
Supposons en effet x1+x2=y1+y2 avec x1,y1∈M1 et x2,y2∈M2.
Nous avons alors x1-y1=x2-y2. Le membre de gauche est un élément de M1, celui de droite un élément de M2. de sorte que si M1∩M2={0} x1-y1=x2-y2=0 donc x1=y1 et x2=y2.Réciproquement si y est un élément non nul de M1∩M2 0+y et y+0 sont deux écritures distinctes du même élément y de M1+M2 sous la forme d'une somme d'un élément de M1 avec un élément de M2.
La somme $S=\sum_{i\in I}^{ }M_{i}$ est dite 'directe' (écriture $S=\bigoplus _{i\in I}^{ }M_{i}$) si tout x de S s'écrit de manière unique comme somme finie d'éléments des Mi
Le résultat ci-dessus valable pour DEUX sous-modules ne s'étend pas à un nombre fini ni infini de sous-modules. En clair la condition $\bigcap_{i\in I}^{ }M_{i}=\left \{ 0 \right \}$ n'est pas une condition suffisante pour que la somme soit directe, pas plus que la condition plus forte $M_{i}\cap M_{j}=\left \{ 0 \right \} \text{ pour }i\neq j$ (prendre trois droites distinctes dans le plan)