K désigne un corps commutatif infini.

K[X] désigne l'anneau des polynômes à coefficients dans K.

K(X) désigne le corps des fractions rationnelles à coefficients dans K.

Cas du corps ℂ des nombres complexes.

D'après ce théorème, tout fraction rationnelle à coefficients dans ℂ se décompose en une somme d'un polynôme (de degré positif ou nul donc) et d'une somme d'éléments simples (de degré négatif donc).

Or nous connaissons la forme des éléments simples de ℂ(X).

Remarquons d'abord que : Cela provient de ce résultat. Cette remarque étant faite, étant donné que les éléments simples sont évidemment de degré négatif : Nous affirmons maintenant que dans la décomposition d'une fraction rationnelle F en éléments simples:

En effet supposons deux écritures distinctes de F comme somme d'un polynôme et d'une fraction de degré négatif. On aurait alors une égalité $P_1-P_2=F_1-F_2 $ où le membre de gauche est un polynôme et le membre de droite une fraction de degré négatif.

On peut donc se concentrer sur le cas où F est une fraction de degré négatif.

Traitons un cas : $F=\frac{X^{3}+X+1}{\left ( X-1 \right )^{3}\left ( X+1 \right )}$

La forme de la décomposition est donc :

$\frac{a}{\left ( X-1 \right )^{3}}+\frac{b}{\left ( X-1 \right )^{2}}+\frac{c}{X-1}+\frac{d}{X+1}$

Le problème revient donc à déterminer les 4 inconnues complexes a,b,c,d. A priori en donnant à l'inconnue des valeurs particulières on peut se ramener à un système linéaire de 4 équations à 4 inconnues que l'on peut résoudre par une méthode classique (Gauss, etc...).

Cependant on peut utiliser quelques astuces :

En multipliant les deux membres par $\left ( X-1 \right )^{3}$ et en remplaçant X par 1, il vient a=3/2.

De la même façon en multipliant les deux membres par X+1 et en faisant X=-1, il vient d=1/8.

En multipliant par X et en faisant tendre X vers ∞ on obtient c+d=1, donc c=7/8.

Il reste donc à déterminer b. Faisant X=0 il vient −1=-a+b-c+d, d'où b=5/4.

Réponse finale :

$\frac{X^{3}+X+1}{\left ( X-1 \right )^{3}\left ( X+1 \right )}=\frac{3/2}{\left ( X-1 \right )^{3}}+\frac{5/4}{\left ( X-1 \right )^{2}}+\frac{7/8}{X-1}+\frac{1/8}{X+1}$

Cas du corps ℝ des nombres réels.

A nouveau nous traitons un exemple, utilisant des techniques qui peuvent être généralisées :

$F=\frac{X}{\left ( X^{2}+1 \right )\left ( X^{2}+4 \right )}$

La forme de la solution est donc :

$\frac{X}{\left ( X^{2}+1 \right )\left ( X^{2}+4 \right )}=\frac{aX+b}{\left ( X^{2}+1 \right)}+\frac{cX+d}{\left ( X^{2}+4 \right )}$

Remplaçant X par 0 nous obtenons $b+\frac{d}{4}=0$.

Multipliant par X et faisant tendre vers l'infini, nous avons $a+c=0$.

Évaluant à X=+1, il vient $\frac{1}{10}=\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{5}$.

Évaluant à X=-1, il vient $\frac{-1}{10}=\frac{-a+b}{2}+\frac{-c+d}{5}$.

La résolution donne $b=d=0$, $a=\frac{1}{3}$, $c=\frac{-1}{3}$

N.B. On peut également passer par les complexes pour obtenir la décomposition réelle.

$F=\frac{a}{X-i}+\frac{b}{X+i}+\frac{c}{X-2i}+\frac{d}{X+2i}$

Multipliant par $(X-i)$ et remplaçant X par i il vient a=1/6.

Multipliant par $(X+i)$ et remplaçant X par -i, il vient b=1/6.

Il ne reste plus qu'à constater que $\frac{1/6}{X-i}+\frac{1/6}{X+i}=\frac{X/3}{X^{2}+1}$.

Voici un programme julia 1.6 qui décompose une fraction rationnelle en éléments simples avec le package MTH229 :