A désigne dans toute cette page un anneau commutatif et unitaire.

Un 'polynôme à une indéterminée' ou plus simplement 'polynôme' à coefficients dans A, désigne un élément de A(ℕ), qui est le sous-ensemble de Aℕ=A[[X]] formé des suites de coefficients presque tous nuls, c'est à dire nuls sauf pour un nombre fini d'entre eux. Donc un tel polynôme est constitué d'une suite finie d'éléments de A disons (a0,a1,....,an), qu'on appelle encore ses 'coefficients'.
On peut donc voir les polynômes comme des séries formelles particulières dont tous les coefficients sont nuls à partir d'un certain rang. Puisque les polynômes sont des séries formelles particulières leur ordre est défini à valeurs dans ℕ∪{+∞}. Mais également une autre donnée.
Si P=(ai) est un polynôme non nul on appelle 'degré' de P () notation d°(P)), le plus grand entier i tel que ai≠0. Si P=0 on convient que de degré de P est -∞.

En résumé -∞≤d°(P)<+∞ , 0≤ord(P)≤+∞ , ord(P)≤d°(P) et tous les indices des coefficients non nuls de P sont entre ord(P) et d°(P).

Si P est non nul le coefficient an tel que n=d°(P) s'appelle le coefficient 'dominant' de P.

La notation est conforme à l'usage pour les séries entières, le polynôme P=(a0,a1,...,an) se note $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$.

Le coefficient d'ordre 0 d'un polynôme s'appelle parfois son 'terme constant'.
Notons que si B est un sur-anneau de A (un anneau dont A est un sous-anneau), alors pour tout polynôme $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}X^{i}$ l'élément $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}b^{i}$ est parfaitement défini et c'est un élément de B.
L'élément $P=\sum_{i=0}^{n}a_{i}b^{i}$ se nomme la 'valeur' de P en b (notation P(b)).

Compte tenu du fait que les polynômes sont des séries formelles particulières on peut définir P$\circ$Q le polynôme composé de P avec Q lorsque ord(Q)≥1. Mais nous remarquons que dans le cas des polynômes on peut s'affranchir de cette condition le problème de 'sommabilité' ne se posant pas. Vu sous cette angle quand a est un élément de A, P(a) est tout simplement le résultat de la substitution du polynôme constant Q=a à l'indéterminée X dans le polynôme P.

Par conséquent si B est comme il est dit ci-dessus, la donnée d'un polynôme à coefficients dans A détermine parfaitement une fonction de B dans B. Toutefois, comme nous le verrons un peu plus tard, il est dangereux d'identifier les polynômes avec les fonctions polynômes, ne serait-ce qu'à cause de la dépendance de B, bien que cela puisse être fait dans certains cas quand il n'y a aucune ambiguïté sur B.

A ce niveau, nous pouvons également définir les racines d'un polynôme.

Soit B un sur-anneau de A. Une 'racine' ou un 'zéro' de P dans B est un élément b∈B tel que P(b)=0.

Un polynôme P n'admettant aucune racine dans A peut en avoir dans un sur-anneau B de A. X2+1 n'admet aucune racine dans ℝ mais admet {-i,+i} comme racines dans ℂ.

Rappelons encore une définition d'un usage courant :

Un polynôme ayant un seul coefficient non nul s'appelle un 'monôme'.

Un monôme de degré n s'écrit donc tout simplement P=anXn. Les monômes de degré 0 ou -∞ s'identifient à leurs termes constants, donc aux éléments de A. A se plonge ainsi dans A[X] par une 'injection naturelle' $A\hookrightarrow A[X]$

Remarque : P monôme de degré n ⇔ ord(P)=d°(P)=n.

Voici encore quelques définitions qui pourront être utilisées çà et là dans ce cours.

Un polynôme est dit 'unitaire' (ou 'monique') si son coefficient dominant est égal à 1.

Cette définition est utile pour caractériser un ensemble de représentants des classes modulo la relation d'association. Revoir par exemple cette page. Elle facilitera ainsi l'énoncé d'un théorème de factorisation.

Un polynôme est dit 'pair' (resp 'impair') s'il ne comporte que des puissances paires (resp. impaires) de l'indéterminée.

Les polynômes pairs (resp. impairs) génèrent des fonctions paires (resp. impaires), au sens de la théorie des fonctions définies sur un groupe abélien additif et à valeurs dans un groupe abélien additif.

La 'dérivée' d'un polynôme est définie comme pour les séries formelles.
Si P est de degré n>0 alors P' est de degré n-1. Par ailleurs toutes les propriétés calculatoires sont les mêmes.
Les dérivées d'ordre supérieur sont définies comme dans le cas des séries formelles par récurrence.