Soit L/K une extension.
Nous avons défini Γ(L/K) le groupe de Galois de L/K.
Si L/K' est une extension intermédiaire de L/K c'est à dire $ K \hookrightarrow K' \hookrightarrow L $ . Alors Γ(L/K'), le groupe de Galois de L sur K' est un sous-groupe de Γ(L/K).
En effet si K' est stable par σ alors K est a fortiori stable par σ.
Réciproquement :
Réciproquement, si G' est un sous-groupe de Γ(L/K). Alors l'ensemble Inv(G') des invariants de L par G' est une extension de K intermédiaire par rapport à L.
Désignons maintenant par $\mathfrak{G}$ l'ensemble des sous-groupes de Γ(L/K), et par $\mathfrak{F}$ l'ensemble des corps intermédiaires entre K et L.
Pour tout M ∈ $\mathfrak{F}$ nous désignons par M* le groupe de galois Γ(L/M).
Pour tout H ∈ $\mathfrak{G}$ nous désignons par H° le sous-corps de L constitué des invariants de L par H.
La théorie de Galois consiste à chercher des conditions suffisantes pour que les deux correspondances ci-dessus soient réciproques l'une de l'autre. Cela fait il reviendra au même d'étudier les sous-extensions de L/K ou les sous-groupes de Γ(L/K).