Soient M et M' deux modules sur un même anneau A.

Nous avons déjà vu que le produit cartésien M×M' peut être muni d'une structure de groupe abélien. Cela a été fait avec des notations multiplicatives.

Dans le cas présent la loi additive du groupe produit est (x,x')+(y,y') =(x+y,x'+y').

Nous définissons maintenant une loi externe de A×(M×M') dans M×M' par λ(x,x')=(λc,λx').

On vérifie facilement qu'avec cette addition et cette loi externe M×M' devient un A-module.

Cette définition peut facilement être étendue au cas d'une famille finie M₁, M₂, ..., M_n de A-modules.

Le produit direct est alors l'ensemble des n-uples (x₁,...,x_n) où chaque x_i∈M_i.

L'addition est définie composante par composante : (x₁,...,x_n)+(x'₁,...,x'_n)=(x₁+x'₁,...,x_n+x'_n), et la loi externe par λ(x₁,...,x_n)=(λx₁,...,λx_n).

On peut même s'affranchir de la 'finitude' du produit. Si (M_i)_i∈I désigne une famille quelconque de A-modules, le produit 'ensembliste' des M_i soit $\prod_{i\in I}^{ }M_{i}$ peut être muni d'une addition (x_i)+(y_i)=(x_i+y_i) et d'une loi externe λ(x_i)=(λx_i) faisant de $\prod_{i\in I}^{ }M_{i}$ un A-module.

Un cas intéressant est celui où tous les modules de la famille sont confondus avec le même module M.

Ainsi par exemple nous avons le module M²=M×M dont les éléments sont des couples (x₁,x₂) où x₁, x₂ sont éléments de M.

Nous avons également le module Mⁿ dont les éléments sont les n-uples (x₁,x₂,...,x_n) où chaque x_i est élément de M.

Le cas où l'ensemble des indices est infini est intéressant car alors le produit $\prod_{i\in I}^{ }M_{i}$ s'identifie à l'ensemble $M^{I}$ de toutes les applications de I dans M. La somme de deux applications est définie comme (f+g)(i)=f(i)+g(i) ∀i∈I et le produit par un scalaire (λf)(i)=λf(i) ∀i∈I.

On reprend maintenant cet exemple où le module M est égal à l'anneau A lui-même et on applique les remarques précédentes.

Ainsi nous voyons que sont définis les modules A², Aⁿ et plus généralement A^I où I est un ensemble quelconque fini ou non. Nous obtenons donc autant de A-modules qui sont des produits d'un nombre fini ou non de copies de A. Ces exemples sont particulièrement importants comme nous le verrons par la suite avec la notion de module 'libre'.