Dans tout le chapitre A désigne un anneau commutatif et unitaire
Un 'A-module' consiste en la donnée d'un groupe abélien noté additivement (M,+), et d'une loi externe A×M→M (λ,x)→λx, vérifiant les propriétés suivantes :
- λ(μx)= (λμ)x ∀(λ,μ)∈A2 et ∀x∈M.
- 1x=x, ∀x∈M (1 désigne ici l'unité de A)
- (λ+μ)x=λx+μx ∀(λ,μ)∈A2 et ∀x∈M
- λ(x+y)=λx+λy ∀λ∈A et ∀(x,y)∈M2
Si A est un corps K au lieu de K-module on dit 'K-espace vectoriel' ou encore espace vectoriels 'sur K'. Si K=ℝ on dit espace vectoriel 'réel' si K=ℂ on dit espace vectoriel 'complexe'
On convient traditionnellement d'appeler les éléments de A les 'scalaires' et les éléments de M les 'vecteurs'. La coutume veut également qu'on note les scalaires avec des lettres grecques et les vecteurs avec des lettres latines. Toutefois cette distinction n'est pas radicale, nous verrons dans les exemples de nombreux cas où les scalaires et vecteurs sont confondus.
Si M est un A-module, nous avons λ0=0 pour tout scalaire λ. 0 désigne ici le nul de l'addition de M, bien sûr.
En effet λ(x)=λ(x+0)=λx+λ0. Il suffit de soustraire λx aux deux membres.
Si M est un A-module nous avons 0x=0 pour tout vecteur x de M. 0 désigne ici le nul de l'anneau A.
En effet (λ+0)x=λx+0x. de sorte qu'il suffit de soustraire λx aux deux membres pour avoir notre résultat.
Voici une représentation d'un module sur l'anneau ℤ avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :
Voici une représentation d'un espace vectoriel sur le corps ℚ avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :