A désigne un anneau commutatif et A[X,Y] l'anneau des polynômes à deux indéterminées à coefficients dans A.

Dérivées partielles premières (cas de deux indéterminées)

Tout polynôme de A[X,Y] s'écrit donc $P=\sum_{j=0}^{n }P_jY^{j}=\sum _{j=0}^{n}\left (\sum_{i=0}^{m }a_{i,j} X^{i} \right )Y^{j}$. Comme un polynôme en l'indéterminée Y à coefficients dans l'anneau A[X].

Où bien encore :

$P=\sum_{i=0}^{m }Q_iX^{i}=\sum _{i=0}^{m}\left (\sum_{j=0}^{n }a_{i,j} Y^{j} \right )X^{i}$. Comme un polynôme en l'indéterminée X à coefficients dans l'anneau A[Y].

De sorte que nous pouvons dériver P par rapport à l'indéterminée Y, les Pj étant considérés comme des scalaires (constantes) ou bien inversement dériver par rapport à l'indéterminée X, les Qi étant cette fois les constantes.

Dans le premier cas on obtient la 'dérivée partielle par rapport à Y', notation : $\frac{\partial P}{\partial Y}=\sum_{j=0}^{n-1}(j+1)P_{j+1}Y^{j}$.
Dans le second cas on obtient la 'dérivée partielle par rapport à X', notation : $\frac{\partial P}{\partial X}=\sum_{i=0}^{m-1}(i+1)Q_{i+1}X^{i}$.

Dérivation partielle d'un monôme

si $P=a_{i,j}X^{i}Y^{j}$ est un monôme les formules générales donnent : $\frac{\partial P}{\partial X}=ia_{i,j}X^{i-1}Y^{j}$ et $\frac{\partial P}{\partial Y}=ja_{i,j}X^{i}Y^{j-1}$

Extension par linéarité

On voit immédiatement que :

La dérivation est une application linéaire (en clair un morphisme de A-modules de A[X] dans lui-même). C'est à dire que :
  • $D(\lambda P)=\lambda D(P)$
  • D(P+Q)=D(P)+D(Q)

Appliquant cela à la remarque précédente concernant la dérivation des monômes, il vient :

Si $P=\sum_{i=0}^{m} \sum_{j=0}^{n}a_{i,j}X^{i}Y^{j}$ alors :

$\frac{\partial P}{\partial X}=\sum_{i=1}^{m-1} \sum_{j=0}^{n}ia_{i,j}X^{i-1}Y^{j}$

$\frac{\partial P}{\partial y}=\sum_{i=0}^{m} \sum_{j=1}^{n-1}ja_{i,j}X^{i}Y^{j-1}$

Dérivées partielles d'ordre supérieur (cas de deux indéterminées)

La dérivée partielle d'un polynôme P(X,Y) par rapport à l'une quelconque des indéterminées est encore un élément de P(X,Y) dont on peut calculer les dérivées partielles par rapport à chacune des deux indéterminées.

Nous appellerons ces dérivées des dérivées partielles 'secondes'.
Ainsi :

$\frac{\partial ^{2}P}{\partial X^{2}}$ (resp $\frac{\partial ^{2}P}{\partial Y^{2}}$) est une notation abrégée pour $\frac{\partial }{\partial X}\left (\frac{\partial P}{\partial X} \right )$ (resp $\frac{\partial }{\partial Y}\left (\frac{\partial P}{\partial Y} \right )$).

On peut également dériver d'abord par rapport à une variable puis ensuite par rapport à la seconde.

Ainsi $\frac{\partial ^{2}P}{\partial Y\partial X}$ est la dérivée partielle seconde obtenue par dérivation d'abord par rapport à X puis par rapport à Y.

A priori $\frac{\partial ^{2}P}{\partial Y\partial X}$ et $\frac{\partial ^{2}P}{\partial X\partial Y}$ sont des polynômes distincts. Cependant nous avons le théorème d'inversion des ordres de dérivation.

$\frac{\partial ^{2}P}{\partial Y\partial X}$ et $\frac{\partial ^{2}P}{\partial X\partial Y}$ sont un seul et même polynôme.

Compte tenu de ce que nous avons vu précédemment il suffit de prouver cela pour les monômes.

C'est évident pour les monômes de degré 0 ou 1.

Pour les autres les deux calculs donnent le même résultat $ija_{i,j}X^{i-1}Y^{j-1}$.

Nous pouvons maintenant définir sans ambiguïté le polynôme $\frac{\partial ^{p+q}P}{\partial X^{p}\partial Y^{q}}$ en dérivant p fois par rapport à X et q fois par rapport à Y.

Il résulte de ce qui précède que l'ordre dans lequel sont faites ces dérivations n'importe pas.

Dérivées partielles premières (cas de n indéterminées)

Nous généralisons maintenant les définitions et les résultats précédent pour les polynômes à n indéterminées où n est un entier quelconque n≥2.

Si P est un polynôme à n indéterminées X1,...,Xn. $\frac{\partial P}{\partial X_k}$ est le polynôme obtenu par dérivation de P relativement à l'indéterminée Xk lorsqu'on considère P comme un polynôme en l'unique indéterminée Xk à coefficients dans $A[X_1,...,X_{k-1},X_{k+1},...,X_n]$.

Dérivées partielles d'ordre supérieur (cas de n indéterminées)

Si P est un polynôme à n indéterminées X1,...,Xn. $\frac{\partial ^{r_1+r_2+...+r_k}P}{\partial X_1^{r_1}\partial X_2^{r_2}...\partial X_k^{r_k}}$ est une dérivée partielle d'ordre $r_1+r_2+...+r_k$ obtenu par dérivations successives r1 fois par rapport à X1, r2 fois par rapport à X2, .., rk fois par rapport à Xk.

Tout comme pour les polynômes à deux variables, on peut, en passant par les monômes, montrer que l'on peut intervertir l'ordre des dérivations pourvu que le nombre total de dérivations relatif à chacune des indéterminées soit respecté.

Voici une application avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :