A désigne un anneau commutatif unitaire.

L'anneau A[[X,Y]] des séries formelles à deux indéterminées.

On définit une 'série formelle à deux indéterminées à coefficients dans A' comme une application de ℕ2 dans A, donc un élément de Aℕ×ℕ.
L'ensemble des séries formelles à deux indéterminées se note A[[X,Y]].

Comme dans le cas des séries formelles à une indéterminée nous considérons cela pour le moment, comme une simple notation, mais nous allons pouvoir rapidement donner un sens aux 'indéterminées' X et Y.

Un élément de A[[X,Y]] peut donc être représenté par un ensemble de 'coefficients' doublement indexé (ai,j)(i,j)∈ℕ2.
A[[X,Y]] est muni d'une structure de A-module avec les deux lois :
  • (ai,j)(i,j)∈ℕ2+(bi,j)(i,j)∈ℕ2=(ai,j+bi,j)(i,j)∈ℕ2
  • λ(ai,j)(i,j)∈ℕ2=(λai,j)(i,j)∈ℕ2

Le 'produit de convolution' de deux éléments de A[[X,Y]] est ainsi défini :

(ai,j)(i,j)∈ℕ2×(bi,j)(i,j)∈ℕ2=(ci,j)(i,j)∈ℕ2 où $c_{i,j}=\sum_{i'+i"=i, j'+j"=j}^{ }a_{i',j'}b_{i",j"}$.

On vérifie immédiatement que ce produit est associatif, distributif par rapport à la somme, et qu'il possède un élément unité à savoir (ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a0,0=1.

Cela étant fait on voit que :
(A[[X,Y]],+,×) est muni d'une structure d'anneau commutatif unitaire.
En outre, comme dans le cas d'une seule indéterminée, si A est intègre A[[X,Y]] est intègre également.

Notons maintenant X la série (ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a1,0=1.

Notons maintenant Y la série (ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a0,1=1.

La définition du produit de convolution nous donne immédiatement :

Xm=(ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf am,0=1.

Yn=(ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a0,n=1.

XmYn= (ai,j)où tous les ai,j sont nuls sauf am,n=1.

Dans ces conditions la série (ai,j) peut s'écrire :

$\left ( a_{i,j} \right )=\sum_{0\leqslant i\leqslant \infty , 0\leqslant j\leqslant \infty}^{ }a_{i,j}X^{i}Y^{j}$

L'anneau A[X,Y] des polynômes à deux indéterminées.

Comme dans le cas d'une seule indéterminée nous déduisons la notion de polynôme à deux indéterminées de celle de série à deux indéterminées par restriction.
Un polynôme 'double' est une série double au sens précédent dont 'presque tous' les coefficients (comprendre tous les coefficients sauf un nombre fini) sont nuls. Leur ensemble se note A[X,Y].

Il résulte de cette définition et du paragraphe précédent que X et Y sont des polynômes particuliers et que tout polynôme P peut s'écrire comme une somme finie :

$P=P(X,Y)=\sum_{i=0,j=0}^{i=m,j=n}a_{i,j}X^{i}Y^{j}$

On vérifie immédiatement que :

L'anneau A[[X1,X2,...,Xn]] des séries formelles à n indéterminées.

Tout ceci se généralise à un nombre quelconque fini d'indéterminées.

A[[X1,X2,...,Xn]] est l'ensemble des applications de ℕn dans A.
A[[X1,X2,...,Xn]] est muni naturellement d'une structure de A-module avec l'addition et la multiplication par un scalaire 'terme à terme'.
Le 'produit de convolution' de deux séries multiples est ainsi défini :

$(a_{(i_1,i_2,...,i_n)})\times (b_{(j_1,j_2,...,j_n)})=(c_{(k_1,k_2,...,k_n)})$

où :

$c_{(k_1,k_2,...,k_n)}=\sum_{i_1+j_1=k_1,...,i_n+j_n=k_n}^{ }a_{(i_1,...,i_n)}b_{(j_1,...,j_n)}$
(A[[X1,X2,...,Xn]],+,×) devient un anneau commutatif unitaire, intègre si A l'est.
Si on pose $\widehat{k}=(0,...,0,1,0,..,0)$ n-uple identiquement nul sauf la coordonnée d'indice k qui est égale à 1

et $X_{k}=\left ( a_{(i_1,...,i_n)} \right ) $ où tous les coefficients sont nuls sauf $a_{\widehat{k}}=1$

Toute série formelle à n indéterminées peut s'écrire :

$(a_{(i_1,...,i_n)})=\sum_{i_1=0,...,i_n=0}^{i_1=\infty ,...,i_n=\infty }a_{(i_1,...,i_n)}X_{1}^{i_{1}}...X_{n}^{i_{n}}$.

L'anneau A[X1,X2,...,Xn] des polynômes à n indéterminées.

Tout comme dans le cas de deux indéterminées A[X1,X2,...,Xn] se déduit de A[[X1,X2,...,Xn]] par restriction.

Les éléments de A[X1,X2,...,Xn] sont ceux de A[[X1,X2,...,Xn]] dont les coefficients sont presque tous nuls, c'est à dire nuls sauf pour un nombre fini d'entre eux.

Cette définition étant posée :

A[X1,X2,...,Xn] devient un sous-A-module et un sous-anneau de A[[X1,X2,...,Xn]].
En outre :

Toute polynôme P à n indéterminées peut s'écrire comme somme finie :

$P=P(X_1,...,X_n)=\sum_{i_1=0,...,i_n=0}^{i_1=k_1 ,...,i_n=k_n }a_{(i_1,...,i_n)}X_{1}^{i_{1}}...X_{n}^{i_{n}}$.
Un 'monôme' est un polynôme dont un seul des coefficients $a_{(i_1,...,i_n)}$ est non nul.

Un tel monôme s'écrit donc $P=a_{(i_1,i_2,...,i_n)}X^{i_1}X^{i_2}....X^{i_n}$.

Voici une modélisation avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :