A désigne un anneau commutatif unitaire.
L'anneau A[[X,Y]] des séries formelles à deux indéterminées.
Comme dans le cas des séries formelles à une indéterminée nous considérons cela pour le moment, comme une simple notation, mais nous allons pouvoir rapidement donner un sens aux 'indéterminées' X et Y.
Un élément de A[[X,Y]] peut donc être représenté par un ensemble de 'coefficients' doublement indexé (ai,j)(i,j)∈ℕ2.- (ai,j)(i,j)∈ℕ2+(bi,j)(i,j)∈ℕ2=(ai,j+bi,j)(i,j)∈ℕ2
- λ(ai,j)(i,j)∈ℕ2=(λai,j)(i,j)∈ℕ2
Le 'produit de convolution' de deux éléments de A[[X,Y]] est ainsi défini :
(ai,j)(i,j)∈ℕ2×(bi,j)(i,j)∈ℕ2=(ci,j)(i,j)∈ℕ2 où $c_{i,j}=\sum_{i'+i"=i, j'+j"=j}^{ }a_{i',j'}b_{i",j"}$.On vérifie immédiatement que ce produit est associatif, distributif par rapport à la somme, et qu'il possède un élément unité à savoir (ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a0,0=1.
Cela étant fait on voit que :Notons maintenant X la série (ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a1,0=1.
Notons maintenant Y la série (ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a0,1=1.
La définition du produit de convolution nous donne immédiatement :
Xm=(ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf am,0=1.
Yn=(ai,j) où tous les ai,j sont nuls sauf a0,n=1.
XmYn= (ai,j)où tous les ai,j sont nuls sauf am,n=1.
Dans ces conditions la série (ai,j) peut s'écrire :
$\left ( a_{i,j} \right )=\sum_{0\leqslant i\leqslant \infty , 0\leqslant j\leqslant \infty}^{ }a_{i,j}X^{i}Y^{j}$L'anneau A[X,Y] des polynômes à deux indéterminées.
Comme dans le cas d'une seule indéterminée nous déduisons la notion de polynôme à deux indéterminées de celle de série à deux indéterminées par restriction.Il résulte de cette définition et du paragraphe précédent que X et Y sont des polynômes particuliers et que tout polynôme P peut s'écrire comme une somme finie :
$P=P(X,Y)=\sum_{i=0,j=0}^{i=m,j=n}a_{i,j}X^{i}Y^{j}$
On vérifie immédiatement que :
- A[X,Y] est un sous-A-module de A[[X,Y]].
- (A[X,Y],+,×) est un sous-anneau de (A[[X,Y]],+,×).
L'anneau A[[X1,X2,...,Xn]] des séries formelles à n indéterminées.
Tout ceci se généralise à un nombre quelconque fini d'indéterminées.
où :
$c_{(k_1,k_2,...,k_n)}=\sum_{i_1+j_1=k_1,...,i_n+j_n=k_n}^{ }a_{(i_1,...,i_n)}b_{(j_1,...,j_n)}$et $X_{k}=\left ( a_{(i_1,...,i_n)} \right ) $ où tous les coefficients sont nuls sauf $a_{\widehat{k}}=1$
Toute série formelle à n indéterminées peut s'écrire :
$(a_{(i_1,...,i_n)})=\sum_{i_1=0,...,i_n=0}^{i_1=\infty ,...,i_n=\infty }a_{(i_1,...,i_n)}X_{1}^{i_{1}}...X_{n}^{i_{n}}$.L'anneau A[X1,X2,...,Xn] des polynômes à n indéterminées.
Tout comme dans le cas de deux indéterminées A[X1,X2,...,Xn] se déduit de A[[X1,X2,...,Xn]] par restriction.
Cette définition étant posée :
En outre :Toute polynôme P à n indéterminées peut s'écrire comme somme finie :
$P=P(X_1,...,X_n)=\sum_{i_1=0,...,i_n=0}^{i_1=k_1 ,...,i_n=k_n }a_{(i_1,...,i_n)}X_{1}^{i_{1}}...X_{n}^{i_{n}}$.Un tel monôme s'écrit donc $P=a_{(i_1,i_2,...,i_n)}X^{i_1}X^{i_2}....X^{i_n}$.
Voici une modélisation avec le langage julia 1.6 et le package AbstractAlgebra :