Définition

On considère dans le plan complexe, le cercle unité $\mathfrak{C}$. Représentation géométrique des éléments de G_n, groupe des racines n-ièmes de l'unité. sur le cercle unité, en rouge les racines primitives (qui engendrent G_n), en vert les autres:

On s'intéresse ici plus spécialement à ceux qui sont 'constructibles' (à la règle et au compas).

Le problème de déterminer les polygones constructibles est exactement un problème d'angle constructible. Les angles à construire étant 2π/n, où ce qui revient au même π/n.

Ce problème peut également être vu comme un problème de nombre constructibles, les nombres à construire étant cos(π/n et/ou sin(π/n).

Exemples classiques

A l'exception du pentagone, toutes les constructions sont connues des élèves de collège.

Le triangle

Le carré

Le pentagone

La construction est rappelée ici .

L'hexagone

Un exemple moins classique

Gauss à démontré en 1796 que l'heptadécagone est constructible.

Une propriété simple

Sur le plan géométrique pur on trace la médiatrice d'un côté. Par intersection avec le cercle unité de cette médiatrice on obtient 2 côtés du polygone dont le nombre de côtés est doublé.

Algébriquement il suffit d'exploiter la relation entre cos(2x) et cos(x) soit :

$$cos(2x)=cos^{2}(x)-sin^{2}(x)$$

D'où nous tirons :

$$cos(x)=\sqrt{\frac{1+cos(2x)}{2}}$$

On voit donc que cos(π/2n) peut s'obtenir à partir de cos(π/n) au moyen des opérations addition, quotient, extraction de racine carrée.

Polygone non constructibles

Nous avons montré ici que ce polygone est non constructible. Cela revient à construire un angle de 40° ou de 20°.