Soit G un groupe et X une partie de G. Il existe un plus petit sous-groupe N(X) possédant les propriétés suivantes :
- X⊆N(X)
- N(X) est distingué dans G.
En effet, l'intersection d'une famille de sous-groupes distingués de G est encore un sous-groupe de G. Il est clair que si tous les sous-groupes sont normaux, leur intersection l'est encore.
N(X) s'appelle la 'clôture normale' de X dans G.
Il résulte de tout cela que :
La clôture normale de G contient le sous-groupe engendré par X (N(X)⊆<X>)
Pour tout morphisme de groupes h:G→H vérifiant h(x)=1 ∀x∈X , N(X) est un sous-groupe distingué de Ker(h).