- Comme nous l'avons vu précédemment ℤ peut être présenté par ({x},∅). un générateur unique et aucune relation.
- Le groupe cyclique ℤ/nℤ peut être présenté par ({x},{xn}).
- On peut démontrer que le groupe symétrique Sn peut être présenté par un ensemble de n-1 générateurs X={τ1; ....,τn-1} et un ensemble de (n-1)(2n+1) relations :
- τi2
- τiτjτiτj
- τiτi+1τiτi+1τiτi+1
- Le groupe diédral D2n est présenté par ({r,s},{rn,s2,srsr}). r désigne ici une rotation et s une symétrie axiale. Voir par exemple une démonstration ici.
Cas du groupe alterné An pour n>3
On obtient (suivant wikipedia)les présentations suivantes :pour n pair 2 générateurs t=(1,2,3) et s=(1,2)(3,4,...,n)
et pour relations : sn–2=t3=(st)n–1=1 et, pour 1≤k≤(n–2)/2, (t(–1)ks–ktsk)2=1pour n impair 2 générateurs t=(1,2,3) et s=(3,4,...,n)
et pour relations : sn–2=t3=(st)n=1 et, pour 1≤k≤(n–3)/2, (ts–ktsk)2=1