On se place maintenant dans un groupe libre $\mathfrak{F}$(X), et on considère un ensemble R de mots irréductibles identifiés à leurs classes modulo la relation ∼.

Nous appellerons R les 'relations'.
A un tel ensemble de relations nous pouvons associer $\mathfrak{N}$(R) la clôture normale de R dans $\mathfrak{F}$(X).

Il est facile de caractériser $\mathfrak{N}$(R) :

$\mathfrak{N}$(R) est égal à l'ensemble de tous les produits de conjugués de puissances d'éléments de R.

$\mathfrak{N}(R)=\left \{ \prod_{j=1}^{m}u_{j}r_{j}^{n_{j}}u_{j}^{-1}|r_{j}\in R,u_{j} \in \mathfrak{F}(X),n_{j}\in \mathbb{N},m\in \mathbb{N}\right \}$
On désigne par φ la surjection canonique $\mathfrak{F}$(X)→$\mathfrak{F}$(X)/$\mathfrak{N}$(R).Alors $\mathfrak{N}$(R)=Ker(φ).

Soit N l'ensemble décrit par le membre de l'équation de droite ci-dessus. C'est un sous-groupe normal de $\mathfrak{F}$(x) contenant R, donc$\mathfrak{N}$(R)⊆N.

Réciproquement : $$\varphi \left ( \prod_{j=1}^{m}u_{j}r_{j}^{n_{j}}u_{j}^{-1} \right )=\prod_{j=1}^{m}\varphi (u_{j})\varphi (r_{j})^{n_{j}}\varphi (u_{j})^{-1}=1$$ Donc N⊆Ker(φ)=$\mathfrak{N}$(R).
Le groupe quotient $\mathfrak{F}$(X)/$\mathfrak{N}$(X) est noté |X:R| et appelé le groupe défini par la 'présentation' (X,R). X est l'ensemble des 'générateurs' et R l'ensemble des 'relations'.
On dit que (X,R) est une 'présentation' du groupe G si G est isomorphe à |G:R|.

On remarquera que tout groupe possède au moins une présentation que l'on obtient en partant de l'identité i:G→G, qui s'étend de menière unique en un homomorphisme p:$\mathfrak{F}$(G)→G. G est alors isomorphe à $\mathfrak{F}$(G)/Ker(p). Mais en général cette présentation n'est pas intéressante car elle est loin d'être minimale.

Un groupe est dit 'de type fini', s'il est isomorphe à une présentation (X,R) où X est un ensemble fini.
En général un groupe peut être présenté de diverses manières. Il n'y a aucun théorème d'unicité concernant les présentations d'un même groupe.