On se place maintenant dans un groupe libre $\mathfrak{F}$(X), et on considère un ensemble R de mots irréductibles identifiés à leurs classes modulo la relation ∼.
Il est facile de caractériser $\mathfrak{N}$(R) :
$\mathfrak{N}$(R) est égal à l'ensemble de tous les produits de conjugués de puissances d'éléments de R.
$\mathfrak{N}(R)=\left \{ \prod_{j=1}^{m}u_{j}r_{j}^{n_{j}}u_{j}^{-1}|r_{j}\in R,u_{j} \in \mathfrak{F}(X),n_{j}\in \mathbb{N},m\in \mathbb{N}\right \}$Soit N l'ensemble décrit par le membre de l'équation de droite ci-dessus. C'est un sous-groupe normal de $\mathfrak{F}$(x) contenant R, donc$\mathfrak{N}$(R)⊆N.
Réciproquement : $$\varphi \left ( \prod_{j=1}^{m}u_{j}r_{j}^{n_{j}}u_{j}^{-1} \right )=\prod_{j=1}^{m}\varphi (u_{j})\varphi (r_{j})^{n_{j}}\varphi (u_{j})^{-1}=1$$ Donc N⊆Ker(φ)=$\mathfrak{N}$(R).On remarquera que tout groupe possède au moins une présentation que l'on obtient en partant de l'identité i:G→G, qui s'étend de menière unique en un homomorphisme p:$\mathfrak{F}$(G)→G. G est alors isomorphe à $\mathfrak{F}$(G)/Ker(p). Mais en général cette présentation n'est pas intéressante car elle est loin d'être minimale.